www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Differenzialgleichung von ex.F
Differenzialgleichung von ex.F < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Exp- und Log-Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Differenzialgleichung von ex.F: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 So 27.01.2008
Autor: gebrochenrationaleFunktion

Hallo, ich beschäftige mich mit der Differenzialgleichung des exponentiellen Wachstums.
Hierbei lautet die Differenzialglichung:
f'(t)=k*f(t)
die momentane Änderungsrate f'(t) ist demnach proportional zum momentanen Bestand f(t). Doch was bedeutet in dem Fall proportional? Und wieso das k? Ist k nicht die Steigung? also praktisch das a von f(x)=   c [mm] *a^{t} [/mm] also im übertragenen sinne die % Zahl, um die die Funktion pro Zeiteinheit wächst?
Also ist K=a= Wachstums bzw. Zerfallskonstante?

Und des weiteren wird gesagt, dass f(t)=  [mm] c*e^{k*t} [/mm] (k nüsste doch ln(a) sein und doch nicht a?)  die Lösung der Differenzialgleichung f'(x)=k*f(x) ist.
Doch weshalb ist dies so? Ist  f(t)=  [mm] c*e^{k*t} [/mm] nicht viel mehr die Stammfunktion von f'(t)=k*f(t) ? Denn:
f'(t)=k*f(t) =     [mm] k=\bruch{f'(t)}{f(t)} [/mm]
Stammfunktion: k*t +c = ln(/f(t)/)  multipliziert mit [mm] e^x [/mm]
f(t)=  [mm] c*e^{k*t} [/mm]

        
Bezug
Differenzialgleichung von ex.F: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 So 27.01.2008
Autor: Somebody


> Hallo, ich beschäftige mich mit der Differenzialgleichung
> des exponentiellen Wachstums.
>  Hierbei lautet die Differenzialglichung:
>  f'(t)=k*f(t)
>  die momentane Änderungsrate f'(t) ist demnach proportional
> zum momentanen Bestand f(t). Doch was bedeutet in dem Fall
> proportional?

Genau das, was Du soeben hingeschrieben hast: dabei ist $k$ eine Konstante und für alle $t$ soll gelten [mm] $f'(t)=k\cdot [/mm] f(t)$.

> Und wieso das k? Ist k nicht die Steigung?

Die Steigung wovon? - "Die Steigung" gibt es nicht. $f'(t)$ wäre die Steigung an den Graphen von $f(t)$ an der Stelle $t$ bzw. im Punkt $(t|f(t))$. Die Steigung $f'(t)$ des Graphen von $f$ an der Stelle $t$ ist also nicht etwa $k$, sondern das $k$-fache des Funktionswertes $f(t)$ an dieser Stelle, eben [mm] $k\cdot [/mm] f(t)$.

> also praktisch das a von f(x)=   c [mm]*a^{t}[/mm] also im
> übertragenen sinne die % Zahl, um die die Funktion pro
> Zeiteinheit wächst?

Ich verstehe Dich nur sehr bedingt, aber betrachte mal folgende Umformungskette, wobei ich [mm] $f(t)=c\cdot e^{kt}$ [/mm] setze (mit $c := f(0)$):

[mm]f(t+1)=f(0)\cdot e^{k(t+1)}=f(0)\cdot e^{kt}\cdot e^k=e^k\cdot f(t)[/mm]


Jener Faktor, um den sich $f(t)$ pro Zeiteinheit vergrössert, ist also [mm] $e^k$. [/mm]

>  Also ist K=a= Wachstums bzw. Zerfallskonstante?

Die Konstante $k$ in der Diff'gleichung [mm] $f'(t)=k\cdot [/mm] f(t)$ bezeichnet man in der Tat als "Zerfallskonstante" (im Falle $k<0$) bzw. "Wachstumskonstante" (im Falle $k>0$), aber dies ist, wie ich oben plausibel zu machen versuchte, nicht der Faktor, um den $f(t)$ pro Zeiteinheit kleiner wird bzw. wächst.
Für $k<0$: Bei genauerer Betrachtung zeigt sich, dass $k$ so etwas wie die "Zerfallswahrscheinlichkeit" (z.B. eines einzelnen radioaktiven Teilchens) ist. Denn es ist ja eben [mm] $k\cdot f(t_0)$ [/mm] die Geschwindigkeit, mit der die Anzahl Teilchen $f(t)$ zur Zeit [mm] $t_0$ [/mm] abnimmt.

>  
> Und des weiteren wird gesagt, dass f(t)=  [mm]c*e^{k*t}[/mm] (k
> nüsste doch ln(a) sein und doch nicht a?

Ja, [mm] $a=e^k$, [/mm] also (beidseitig logarithmiert): [mm] $\ln(a)=k$ [/mm]

>)  die Lösung der

> Differenzialgleichung f'(x)=k*f(x) ist.
>  Doch weshalb ist dies so?

Falsche Gleichung bzw. Variable $x$ statt $t$: Du hattest [mm] $f'(t)=k\cdot [/mm] f(t)$ geschrieben. An sich ist die Wahl des Namens der Funktionsvariablen nicht wichtig, aber man sollte deren Namen doch wohl besser nicht mitten im Satz ändern.

> Ist  f(t)=  [mm]c*e^{k*t}[/mm] nicht viel
> mehr die Stammfunktion von f'(t)=k*f(t) ?

Darin scheint sich alle Welt (Du eingeschlossen) ja einig zu sein. Was Ableiten von [mm] $f(t)=c\cdot e^{kt}$ [/mm] nach $t$ (unter Verwendung der Kettenregel) ganz problemlos zeigt:

[mm]f'(t)=c\cdot e^{kt}\cdot k=k\cdot f(t)[/mm]


> Denn:
>  [mm]f'(t)=k*f(t) \red{=} k=\bruch{f'(t)}{f(t)}[/mm]

Das von mir rot markierte Gleichheitszeichen war wohl [mm] $\Rightarrow$ [/mm] gemeint.

>  Stammfunktion: k*t +c = ln(/f(t)/)  multipliziert mit [mm]e^x[/mm]

[kopfschuettel] Multipliziert? - Multipliziert! - und dann noch mit [mm] $e^x$ [/mm] ($x$ wohlgemerkt: weshalb kommt Dir denn nun schon wieder dieser Variablenname $x$ in die Quere?)

> f(t)=  [mm]c*e^{k*t}[/mm]  

Gut, Du separierst zuerst, dann integrierst Du und am Ende wendest Du auf beide Seiten der Gleichung die (natürliche) Exponentialfunktion an:

[mm]\begin{array}{lcll} \displaystyle f'(\tau) &=& \displaystyle k\cdot f(\tau) &\big| \div f(\tau)\\[.2cm] \displaystyle \frac{f'(\tau)}{f(\tau)} &=& \displaystyle k &\big| \int_0^t\\[.3cm] \displaystyle \int_0^t\frac{f'(\tau)}{f(\tau)}\; d\tau &=& \displaystyle \int_0^t k\; d\tau\\[.3cm] \displaystyle \ln f(t)-\ln f(0) &=& \displaystyle kt &\big| +\ln f(0)\\[.2cm] \displaystyle \ln f(t) &=& \displaystyle \ln f(0)+kt &\big| \exp_e\\[.2cm] \displaystyle f(t) &=& \displaystyle e^{\ln f(0)+kt}=f(0)\cdot e^{kt} \end{array}[/mm]

Mit $c := f(0)$ also [mm] $f(t)=c\cdot e^{kt}$. [/mm]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Exp- und Log-Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]