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| Aufgabe | Geg.: [mm] f(x)=\bruch{x^2}{x+1}
[/mm]
Ges.: f'(x)=? |
Hey ,
ich bins wieder mit einer neuen Aufgabe!
Ich denke mal ich muss die Ableitung mit der Quotientenregel bestimmen.
In etwa so: [mm] f'(x)=\left( \bruch{f}{g} \right)'= \bruch{2x*x+1 -x^2*x+1}{x^2+1} [/mm]
Ist das so richtig?
Grüsse Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Do 21.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Markus,
die Ableitung ist grob richtig, allerdings hast du einige Leichtsinnsfehler darin. Erstmal die Regel zum Differenzieren:
[mm]f(x)=\bruch{x^2}{x+1}[/mm]
kann man allgemein so umschreiben:
[mm]f(x)=\bruch{g(x)}{h(x)}[/mm]
Die Ableitung ist allgemein:
[mm]f'(x)=\bruch{h(x)*g'(x)-g(x)*h'(x)}{(h(x))^2}[/mm]
die Teilfunktion und deren Ableitungen sind:
[mm]g(x)=x^2[/mm]
[mm]g'(x)=2x[/mm]
[mm]h(x)=x+1[/mm]
[mm]h'(x)=1[/mm]
Wenn wir das in die allgemeine Ableitung einsetzen erhalten wir:
[mm]f'(x)=\bruch{(x+1)*(2x)-(x^2)*(1)}{(x+1)^2}[/mm]
Jetzt muss du den Zähler korrekt ausmultiplizieren, vorallem die Klammern beachten, dies ist ganz wichtig:
[mm]f'(x)=\bruch{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}[/mm]
Wenn du möchtest, kannst du auch den Nenner ausmultiplizieren:
[mm]f'(x)=\bruch{2x^2+2x-x^2}{x^2+2x+1}[/mm]
Jetzt kannst, musst du aber nicht, noch ein x ausklammern:
[mm]f'(x)=\bruch{x^2+2x}{x^2+2x+1}[/mm]
[mm]f'(x)=\bruch{x(x+2)}{x^2+2x+1}[/mm]
Beachte hierbei, dass du [mm](x+1)^2[/mm] mit der binomischen Formel ausmultiplizieren musst. Denn:
[mm](x+1)^2\not=x^2+1^2 (!!)[/mm]
[mm](x+1)^2=(x+1)(x+1)=x^2+2x+1[/mm]
Lieben Gruß,
Dirk
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Hi,
ich bin`s wieder! Kann mir das mit dem ausmultiplizieren vielleicht nochmal jemand erklären?
Hab grad nen problem damit, und komm nicht auf die Lösung!
Grüsse Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Do 21.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo,
dir geht es wahrscheinlich um die Umformung dieses Terms [mm] f'(x)=\bruch{(x+1)\cdot{}(2x)-(x^2)\cdot{}(1)}{(x+1)^2}.
[/mm]
Betrachte dazu zunächst den Zähler (oben auf dem Bruchstrich):
Auflösen der ersten beiden Klammern liefern dann (1.Element der 1. Klammer (x) multipliziert mit der 2. Klammer (2x), genauso fürs 2. Element)
[mm] 2x\cdot{1}+1\cdot{2x}-x^2\cdot{1} [/mm] = [mm] 2x^2+2x-x^2 [/mm] = [mm] x^2+2x
[/mm]
Hier kannst du nun das x noch ausklammern, da es ja in beiden Summanden vorkommt
[mm] x^2+2x [/mm] = x(x+2)
Nun zum Nenner (unter dem Bruchstrich. Hier steht eine binomische Formel (genauergesagt die 1. binomische Formel [mm] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2). [/mm] In diesem Fall ist a=x und b=1. Daher ergibt sich
[mm] (x+1)^2= x^2+2x\cdot{1}+1^2=x^2+2x+1.
[/mm]
Insgesamt erhälts du also
[mm] f'(x)=\bruch{(x+1)\cdot{}(2x)-(x^2)\cdot{}(1)}{(x+1)^2}=\bruch{x(x+2)}{x^2+2x+1}
[/mm]
Ich hoffe, dies hilft dir weiter,
Tobbi
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Hey,
Und wie bekomme ich jetzt daraus meine Ableitung?
Ich denke mal mit Nenner durch Zähler aber irgendwie bekomme ich das nicht so richtig zusammen. Wär nett wenn mir das jemand nochmal erklären könnte.
Grüsse Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Do 21.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo Markus,
[mm] f'(x)=\bruch{x(x+2)}{x^2+2x+1} [/mm] ist deine Ableitung! Eine weitere Vereinfachung ist nicht nötig und auch nicht wirklich möglich.
Schöne Grüße
Tobbi
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Hey,
erstmal danke! Aber wenn ich diese Ableitung jetzt Zeichnen soll, dann geht das ja nicht wirklich oder muss ich es jetzt bloss Zähler durch Nenner Teilen?
grüsse Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Do 21.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo,
stellst sich zunächst einmal die Frage ob dies wirklich nötig ist (das Zeichnen), denn ganz trivial wäre dies nicht mehr. Einfach Zähler durch Nennerteilen kannst du nicht (höchstens als Polynomendivision, aber dies würde dir auch nicht weiterhelfen). Ein "Kürzen" ist hier nicht möglich!
Wenn du diese Funktion (Ableitung) zeichnen sollst, rechnest du dir am besten einfach einige markante Punkte aus (Nullstellen, Schnitt mit der y-Achse), bestimmst das Verhalten im unendlichen (limites), überlegst dir ob es eventuell Polstellen in der Funktion gibt (falls ja, Grenzwerte bestimmen) und skizzierst dann so die Funktion.> Hey,
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