Differenzierbar-, Stetigkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Di 03.01.2006 | | Autor: | Nilfi |
| Aufgabe | Sei f(x) = x für x<1 und f(x) = [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 1.
Ist f überall differenzierbar? Betsimmen Sie f´an allen Stellen, an denen es existiert.
Ist f´auf seinem Definitionsbereich stetig? Ist f´auf seinem Definitionsbereich differenzierbar? |
Hallo,
hab mir zur obigen Aufgabe folgendes überlegt:
Beh: f ist überall differenzierbar.
Bew:
Betrachte
[mm] \limes_{x_{0}\rightarrow\partial} \bruch{f(x_{0}) - f(\partial)}{x_{0} - \partial}
[/mm]
1. Fall: [mm] \partial [/mm] < 1
=> [mm] \bruch{x_{0}-\partial}{x_{0} - \partial} [/mm] = 1
2. Fall : [mm] \partial \ge [/mm] 1
=> umformen => [mm] \bruch{x_{0} + \partial}{2}
[/mm]
Da [mm] x_{0} [/mm] gegen [mm] \partial [/mm] strebt (Definition von Differenzierbarkeit)
=> 2. Fall = [mm] \partial
[/mm]
=> f´(x) = 1 für x<1
= x für x [mm] \ge [/mm] 1
Testen der Stetigkeit von f´(x)
Da 1 und x stetig müssen wir nur den linken und rechten grenzwert von x=1 betrachten
also 1.
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(1-h)- f(1)}{1-h -1} [/mm] = [mm] \bruch{0}{-h} [/mm] = 1 (da h ja gegen 1 strebt und dann [mm] \bruch{0}{0} [/mm] dort stehen würde)
und 2.
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(1+h)- f(1)}{1+h -1}= \bruch{h}{h} [/mm] =1
=> linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind beide gleich 1 => f´ist stetig
f´ist wieder differenzierbar und zwar mit
f´´ (x) = 0 für x< 1
= 1 für [mm] x\ge [/mm] 1
Sind meine Ansätze so richtig, oder besser, könnte ich das Ergebnis so abgeben 
Wäre nett wenn jemand mal schnell korrigieren könnte.
Gruß
nilfi
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Hallo Nilfi,
> Sei f(x) = x für x<1 und f(x) = [mm]\bruch{x^2}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] für x [mm]\ge[/mm] 1.
> Ist f überall differenzierbar? Betsimmen Sie f´an allen
> Stellen, an denen es existiert.
> Ist f´auf seinem Definitionsbereich stetig? Ist f´auf
> seinem Definitionsbereich differenzierbar?
> Hallo,
> hab mir zur obigen Aufgabe folgendes überlegt:
> Beh: f ist überall differenzierbar.
> Bew:
> Betrachte
> [mm]\limes_{x_{0}\rightarrow\partial} \bruch{f(x_{0}) - f(\partial)}{x_{0} - \partial}[/mm]
>
> 1. Fall: [mm]\partial[/mm] < 1
> => [mm]\bruch{x_{0}-\partial}{x_{0} - \partial}[/mm] = 1
>
> 2. Fall : [mm]\partial \ge[/mm] 1
> => umformen => [mm]\bruch{x_{0} + \partial}{2}[/mm]
>
> Da [mm]x_{0}[/mm] gegen [mm]\partial[/mm] strebt (Definition von
> Differenzierbarkeit)
> => 2. Fall = [mm]\partial[/mm]
>
> => f´(x) = 1 für x<1
> = x für x [mm]\ge[/mm] 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Testen der Stetigkeit von f´(x)
> Da 1 und x stetig müssen wir nur den linken und rechten
> grenzwert von x=1 betrachten
> also 1.
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(1-h)- f(1)}{1-h -1}[/mm] =
> [mm]\bruch{0}{-h}[/mm] = 1 (da h ja gegen 1 strebt und dann
> [mm]\bruch{0}{0}[/mm] dort stehen würde)
> und 2.
Wie kommst Du auf dieses Ergebnis [mm]\bruch{0}{-h}[/mm] = 1?
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(1+h)- f(1)}{1+h -1}= \bruch{h}{h}[/mm]
> =1
>
> => linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind beide
> gleich 1 => f´ist stetig
>
> f´ist wieder differenzierbar und zwar mit
> f´´ (x) = 0 für x< 1
> = 1 für [mm]x\ge[/mm] 1
>
f' ist an der Stelle x=1 nicht diffenzierbar, da zwei Grenzwerte existieren.
>
> Sind meine Ansätze so richtig, oder besser, könnte ich das
> Ergebnis so abgeben
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Di 03.01.2006 | | Autor: | Nilfi |
Hallo
> Wie kommst Du auf dieses Ergebnis [mm]\bruch{0}{-h}[/mm] = 1?
Ok, das fand ich auch komisch, also kommt da 0 raus,
> >
> > f´ist wieder differenzierbar und zwar mit
> > f´´ (x) = 0 für x< 1
> > = 1 für [mm]x\ge[/mm] 1
> >
>
> f' ist an der Stelle x=1 nicht diffenzierbar, da zwei
> Grenzwerte existieren.
Ok soll also heissen, dass wenn zwei verschiedene Grenzwerte an einem Punkt existieren, ist die Funktion dort nicht differenzierbar?
Aber ich kann doch f´(1) ableiten f´´(1)= 0. Wo liegt denn hier mein Denkfehler?
Aber stetig ist f´(x) doch, oder?
Wenn ich nun 2 verschieden Grenzwerte habe wie zeige ich denn dann die Stetigkeit. Ich dachte wenn links und rechts gleich ist dann => stetig (daher auch 0/h = 1 )
Gruß Nilfi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Di 03.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hi Nilfi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Ok, das fand ich auch komisch, also kommt da 0 raus,
Genau, schließlich ist ja $h \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ , also [mm] $\bruch{0}{-h} [/mm] \ = \ 0$ .
> Ok soll also heissen, dass wenn zwei verschiedene
> Grenzwerte an einem Punkt existieren, ist die Funktion dort
> nicht differenzierbar?
Richtig!
> Aber ich kann doch f´(1) ableiten f´´(1)= 0. Wo liegt denn
> hier mein Denkfehler?
Aber es existiert kein eindeutiger Grenzwert bei rechtsseitiger und linksseitiger Annäherung.
Anschaulich: ich kann in [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ keine eindeutige Tangente anlegen.
Für [mm] $x_0 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 1$ kannst Du auch Ableitungen angeben. Dort ist $f'(x)_$ auch differenzierbar, halt nicht in [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ .
> Aber stetig ist f´(x) doch, oder?
Ja!
> Wenn ich nun 2 verschieden Grenzwerte habe wie zeige ich
> denn dann die Stetigkeit. Ich dachte wenn links und rechts
> gleich ist dann => stetig (daher auch 0/h = 1 )
Die Stetigkeit zeigst Du mit der entsprechenden Funktion, die Differenzierbarkeit mit dem Differenzenquotienten.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Mi 04.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denk die Frage ist beantwortet, und du hast aus versehen auf frage gestellt. Wenn nicht frag noch mal.
Gruss leduart
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