Differenzierbar? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Do 09.07.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Funktion
f : [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) = x|x| + [mm] x^{2} [/mm] , x [mm] \in \IR
[/mm]
auf Differenzierbarkeit in jedem Punkt [mm] x_{0} [/mm] |
Das ist eine Beispielaufgabe, wie sie in der Klausur, die ich am Mittwoch schreiben werden, dran kommen könnte.
Ich habe das ganze Thema Differentiation noch nicht so wirklich kapiert, Differenzenquotient...
Ich wäre euch dankbar, wenn ihr mir anhand dieser Aufgabe etwas helfen könntet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Do 09.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Wie man auf den  Differenzenquotient kommst, hast du verstanden?
Generell gehe bei der Berechnung der Ableitung von f an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] wie folgt vor.
Betrachte [mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm] und versuche den Bruch so umzuformen, dass du das h aus dem Nenner herauskürzen kannst.
Beispiel.
f(x)=3x²+4x
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{(3(x_{0}+h)²+4(x_{0}+h)-(3(x_{0})²+4x_{0})}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{(3(x_{0}²+2x_{0}h+h²+4x_{0}+4h-(3x_{0}²+4x_{0})}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{3x_{0}²+6x_{0}h+6h²+4x_{0}+4h-3x_{0}²-4x_{0}}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{6x_{0}h+6h²+4h}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{h(6x_{0}+6h+4)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}(6x_{0}+6h+4
[/mm]
[mm] =6x_{0}+6*\red{0}+4
[/mm]
[mm] =6x_{0}+4
[/mm]
Jetzt versuche dich mal an deiner Funktion
[mm] f(x)=x|x|+x^{2}
[/mm]
Forme dazu zuerst mal um, und betrachte dann beide Fälle
[mm] f(x)=x|x|+x^{2}
[/mm]
[mm] =\begin{cases} x*x+x^{2}, & \mbox{für } x\ge0 \\ x*(-x)+x^{2}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}
[/mm]
[mm] =\begin{cases} 2x^{2}, & \mbox{für } x\ge0 \\ 0, & \mbox{für } x<0 \end{cases}
[/mm]
Und jetzt betrachte
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
[/mm]
einmal für [mm] x_{0}<0 [/mm] und einmal für [mm] x_{0}\ge0
[/mm]
Marius
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