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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f : [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases}e^{(x-1)*(x-2)} , & \mbox{für } |x-2|\le 1 \\ -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } |x-2|>1 \end{cases}
[/mm]
Bestimmen sie die Parameter a und b, so dass f in x=3 differenzierbar ist. Ist f für diese Parameter auch in x=1 differenzierbar. |
Hallo zusammen,
Ich habe ein paar Fragen zu dieser Aufgabe. Wäre nett wenn jemand für mich diese Aufgabe korrigieren würde.
Muss ich bei so einer Aufgabe zuerst überprüfen ob die Funktion stetig ist?
Ich gehe davon aus, dass man das hier nicht machen muss.
Als erstes löse ich den Betrag mal auf. Dann erhalte ich folgendes Ergebnis
[mm] f(x)=\begin{cases} -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } x<1 \\ e^{(x-1)*(x-2)} , & \mbox{für } x\ge 1 \\ e^{(x-1)*(x-2)} , & \mbox{für } x\le 3 \\ -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } x >3 \end{cases}
[/mm]
Meine kritischen Stellen sind also bei x=1 und x=3
Wir haben gelernt in der Vorlesung, dass bei Differenzierbarkeit die linkseitige Ableitung gleich der rechtsseitigen Ableitung sein muss.
Also bilde ich die Ableitung.
[mm] f'(x)=\begin{cases} -(x-3)^2+a, & \mbox{für } x<1 \\ e^{(x-1)*(x-2)}*(x-1)*(x-3) , & \mbox{für } x\ge 1 \\ e^{(x-1)*(x-2)} *(x-2)*(x-3) , & \mbox{für } x\le 3 \\ -(x-3)^2+a , & \mbox{für } x >3 \end{cases}
[/mm]
Das erste, was mir auffällt ist, dass das b beim ableiten verschwindet.
Ist die Funktion also unabhängig von b differenzierbar? b [mm] \in \IR [/mm] ?
Bestimmen sie die Parameter a und b, so dass f in x=3 differenzierbar ist.
f'- (3) =f'+ (3)
0= [mm] -(1-3)^2+a
[/mm]
a=4
f ist in der Stelle x=1 für die Parameter a=4 b [mm] \in \IR [/mm] differenzierbar
Ist f für diese Parameter auch in x=1 differenzierbar?
f'- (1) =f'+ (1)
[mm] -(1-3)^2+4=0
[/mm]
0=0
Antwort JA!
LG
Yannick
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Hallo Yannick,
zur Differenzierbarkeit gehört auch die Stetigkeit. Sie ist ja eine Voraussetzung.
> Gegeben sei die Funktion f : [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases}e^{(x-1)*(x-2)} , & \mbox{für } |x-2|\le 1 \\ -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } |x-2|>1 \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen sie die Parameter a und b, so dass f in x=3
> differenzierbar ist. Ist f für diese Parameter auch in x=1
> differenzierbar.
> Hallo zusammen,
>
> Ich habe ein paar Fragen zu dieser Aufgabe. Wäre nett wenn
> jemand für mich diese Aufgabe korrigieren würde.
>
> Muss ich bei so einer Aufgabe zuerst überprüfen ob die
> Funktion stetig ist?
Ja!
> Ich gehe davon aus, dass man das hier nicht machen muss.
Oh doch.
> Als erstes löse ich den Betrag mal auf. Dann erhalte ich
> folgendes Ergebnis
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } x<1 \\ e^{(x-1)*(x-2)} , & \mbox{für } x\ge 1 \\ e^{(x-1)*(x-2)} , & \mbox{für } x\le 3 \\ -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } x >3 \end{cases}[/mm]
Die mittleren beiden Fälle solltest Du zu einem zusammenfassen, da ja [mm] 1\le x\le{3} [/mm] zugleich gelten muss.
> Meine kritischen Stellen sind also bei x=1 und x=3
Ja. Das sind halt die beiden Lösungen von $|x-2|=1$.
> Wir haben gelernt in der Vorlesung, dass bei
> Differenzierbarkeit die linkseitige Ableitung gleich der
> rechtsseitigen Ableitung sein muss.
> Also bilde ich die Ableitung.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]f'(x)=\begin{cases} -(x-3)^2+a, & \mbox{für } x<1 \\ e^{(x-1)*(x-2)}*(x-1)*(x-3) , & \mbox{für } x\ge 1 \\ e^{(x-1)*(x-2)} *(x-2)*(x-3) , & \mbox{für } x\le 3 \\ -(x-3)^2+a , & \mbox{für } x >3 \end{cases}[/mm]
Wieder die mittleren beiden Fälle zusammenfassen - und außerdem stimmt dort die Ableitung nicht!
> Das erste, was mir auffällt ist, dass das b beim ableiten
> verschwindet.
> Ist die Funktion also unabhängig von b differenzierbar?
Nein, weil sie nicht unabhängig von b stetig ist.
> [mm]b\in \IR[/mm] ?
Nein, nicht beliebig.
> Bestimmen sie die Parameter a und b, so dass f in x=3
> differenzierbar ist.
>
> f'- (3) =f'+ (3)
Keine gute Notation. Schreib wenigstens [mm] f'(3\downarrow)=f'(3\uparrow) [/mm] oder [mm] f'(3^{+})=f'(3^{-}) [/mm] oder noch besser richtige Grenzwerte - eigentlich brauchst Du ja hier nur auf der einen Seite der Gleichung einen.
Den Rest schau ich nicht durch, weil oben ja eine Ableitung nicht stimmt.
Grüße
reverend
> 0= [mm]-(1-3)^2+a[/mm]
> a=4
>
> f ist in der Stelle x=1 für die Parameter a=4 b [mm]\in \IR[/mm]
> differenzierbar
>
> Ist f für diese Parameter auch in x=1 differenzierbar?
>
> f'- (1) =f'+ (1)
>
> [mm]-(1-3)^2+4=0[/mm]
> 0=0
>
> Antwort JA!
>
> LG
>
> Yannick
>
>
>
>
>
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f : [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases}e^{(x-3)*(x-1)} , & \mbox{für } |x-2|\le 1 \\ -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } |x-2|>1 \end{cases}
[/mm]
Bestimmen sie die Parameter a und b, so dass f in x=3 differenzierbar ist. Ist f für diese Parameter auch in x=1 differenzierbar. |
Hallo reverend!
Danke für deine Hilfe. Irgendwie hatte ich da auch noch ein paar Zahlendreher in der Aufgabenstellung drin.
Hier meine korrigierte Version:
[mm] f(x)=\begin{cases} -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } x<1 \\ e^{(x-3)*(x-1)} , & \mbox{für }1\le x \le 3 \\ -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } x >3 \end{cases}
[/mm]
Überprüfen auf Stetigkeit:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 3+} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 3-} [/mm] f(x) = f(3)
b=1
Überprüfen auf Differenzierbarkeit:
[mm] f'(x)=\begin{cases} -(x-3)^2+a, & \mbox{für } x<1 \\ e^{(x-3)*(x-1)} *(x-1)*(x-3) , & \mbox{für } 1\le x \le 3 \\ -(x-3)^2+a , & \mbox{für } x >3 \end{cases}
[/mm]
[mm] f'(3\downarrow)=f'(3\uparrow)
[/mm]
[mm] 0=-(3-3)^2+a
[/mm]
a=0
f ist an der Stelle x=3 für die Parameter a=0 b=1 differenziebar
Ist f für diese Parameter auch in x=1 stetig?
Überprüfen auf Stetigkeit:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1+} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1-} [/mm] f(x) = f(1)
[mm] -\bruch{1}{3}*(-2)^3+1=1
[/mm]
[mm] \bruch{11}{3} \not=1
[/mm]
f ist an der Stelle x=1 für die Parameter a=0 b=1 nicht stetig [mm] \Rightarrow [/mm] nicht differenzierbar
LG
Yannick
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Hallo Yannick,
das sieht schon viel besser aus, aber in der Ableitung der Exponentialfunktion ist wieder der Wurm drin.
> Gegeben sei die Funktion f : [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases}e^{(x-3)*(x-1)} , & \mbox{für } |x-2|\le 1 \\ -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } |x-2|>1 \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen sie die Parameter a und b, so dass f in x=3
> differenzierbar ist. Ist f für diese Parameter auch in x=1
> differenzierbar.
>
> Hallo reverend!
>
> Danke für deine Hilfe. Irgendwie hatte ich da auch noch
> ein paar Zahlendreher in der Aufgabenstellung drin.
>
> Hier meine korrigierte Version:
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } x<1 \\ e^{(x-3)*(x-1)} , & \mbox{für }1\le x \le 3 \\ -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } x >3 \end{cases}[/mm]
>
> Überprüfen auf Stetigkeit:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 3+}[/mm] f(x) = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 3-}[/mm]
> f(x) = f(3)
>
> b=1
Soweit stimmts.
> Überprüfen auf Differenzierbarkeit:
>
> [mm]f'(x)=\begin{cases} -(x-3)^2+a, & \mbox{für } x<1 \\ e^{(x-3)*(x-1)} *(x-1)*(x-3) , & \mbox{für } 1\le x \le 3 \\ -(x-3)^2+a , & \mbox{für } x >3 \end{cases}[/mm]
Nee, eben nicht. Es gilt die Kettenregel und
[mm] f(x)=e^{(x-3)(x-1)}=e^{x^2-4x+3} [/mm] für [mm] x\in[1,3].
[/mm]
Also [mm] f'(x)=e^{(x-3)(x-1)}*(2x-4)=2*(x-2)e^{(x-3)(x-1)}.
[/mm]
Mach damit mal weiter. Wie's geht, hast Du ja schon vorgemacht.
Grüße
reverend
PS: Du kannst Dir viel Tipparbeit sparen, wenn Du diesen (oder Deinen letzten) Artikel als Quelltext anzeigen lässt (Anzeige "einzelner Artikel", dann auf "Quelltext" klicken) und den dann in einen neuen Artikel kopierst. Da kannst Du ihn dann nachbearbeiten.
> [mm]f'(3\downarrow)=f'(3\uparrow)[/mm]
>
> [mm]0=-(3-3)^2+a[/mm]
>
> a=0
>
> f ist an der Stelle x=3 für die Parameter a=0 b=1
> differenziebar
>
> Ist f für diese Parameter auch in x=1 stetig?
>
> Überprüfen auf Stetigkeit:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1+}[/mm] f(x) = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1-}[/mm]
> f(x) = f(1)
>
> [mm]-\bruch{1}{3}*(-2)^3+1=1[/mm]
> [mm]\bruch{11}{3} \not=1[/mm]
>
> f ist an der Stelle x=1 für die Parameter a=0 b=1 nicht
> stetig [mm]\Rightarrow[/mm] nicht differenzierbar
>
> LG
>
> Yannick
>
>
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f : [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases}e^{(x-3)*(x-1)} , & \mbox{für } |x-2|\le 1 \\ -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } |x-2|>1 \end{cases}
[/mm]
Bestimmen sie die Parameter a und b, so dass f in x=3 differenzierbar ist. Ist f für diese Parameter auch in x=1 differenzierbar. |
Hallo reverend!
Ok ich glaube jetzt müsste alles stimmen: Habe beim Ableiten der e Funktion bei der inneren Ableitung bei der Produktregel ein * statt +
gemacht, ich Depp! Hier meine hoffentlich letzte Version:
[mm] f(x)=\begin{cases} -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } x<1 \\ e^{(x-3)*(x-1)} , & \mbox{für }1\le x \le 3 \\ -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } x >3 \end{cases}
[/mm]
Überprüfen auf Stetigkeit:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 3+} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 3-} [/mm] f(x) = f(3)
b=1
Überprüfen auf Differenzierbarkeit:
[mm] f'(x)=\begin{cases} -(x-3)^2+a, & \mbox{für } x<1 \\ e^{(x-3)*(x-1)} *[(x-1)+(x-3)] , & \mbox{für } 1\le x \le 3 \\ -(x-3)^2+a , & \mbox{für } x >3 \end{cases}
[/mm]
[mm] f'(3\downarrow)=f'(3\uparrow)
[/mm]
[mm] 2=-(3-3)^2+a
[/mm]
a=2
f ist an der Stelle x=3 für die Parameter a=2 b=1 differenziebar
Ist f für diese Parameter auch in x=1 stetig?
Überprüfen auf Stetigkeit:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1+} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1-} [/mm] f(x) = f(1)
[mm] -\bruch{1}{3}*(-2)^3-3=1
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{3} \not=1
[/mm]
f ist an der Stelle x=1 für die Parameter a=2 b=1 nicht stetig [mm] \Rightarrow [/mm] nicht differenzierbar
LG
Yannick
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Guten Morgen!
> Gegeben sei die Funktion f : [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases}e^{(x-3)*(x-1)} , & \mbox{für } |x-2|\le 1 \\ -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } |x-2|>1 \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen sie die Parameter a und b, so dass f in x=3
> differenzierbar ist. Ist f für diese Parameter auch in x=1
> differenzierbar.
>
>
> Hallo reverend!
>
> Ok ich glaube jetzt müsste alles stimmen: Habe beim
> Ableiten der e Funktion bei der inneren Ableitung bei der
> Produktregel ein * statt +
> gemacht, ich Depp!
Passiert halt. 
> Hier meine hoffentlich letzte Version:
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } x<1 \\ e^{(x-3)*(x-1)} , & \mbox{für }1\le x \le 3 \\ -\bruch{1}{3}(x-3)^3+a(x-3)+b , & \mbox{für } x >3 \end{cases}[/mm]
>
> Überprüfen auf Stetigkeit:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 3+}[/mm] f(x) = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 3-}[/mm]
> f(x) = f(3)
>
> b=1
>
> Überprüfen auf Differenzierbarkeit:
>
> [mm]f'(x)=\begin{cases} -(x-3)^2+a, & \mbox{für } x<1 \\ e^{(x-3)*(x-1)} *[(x-1)+(x-3)] , & \mbox{für } 1\le x \le 3 \\ -(x-3)^2+a , & \mbox{für } x >3 \end{cases}[/mm]
>
> [mm]f'(3\downarrow)=f'(3\uparrow)[/mm]
>
> [mm]2=-(3-3)^2+a[/mm]
>
> a=2
>
> f ist an der Stelle x=3 für die Parameter a=2 b=1
> differenziebar
>
> Ist f für diese Parameter auch in x=1 stetig?
>
> Überprüfen auf Stetigkeit:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1+}[/mm] f(x) = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1-}[/mm]
> f(x) = f(1)
>
> [mm]-\bruch{1}{3}*(-2)^3-3=1[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{3} \not=1[/mm]
>
> f ist an der Stelle x=1 für die Parameter a=2 b=1 nicht
> stetig [mm]\Rightarrow[/mm] nicht differenzierbar
Jetzt stimmts. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Grüße
reverend
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