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| Aufgabe | g: [mm] \IR \to \IR: [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x|x|+|x-1|
Untersuchen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten, ob g an den Stellen [mm] x_{0} [/mm] = 0 und [mm] x_{2} [/mm] = 1 differenzierbar ist. |
Hallo!
Also mein Ansatz:
[mm] \bruch{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] = [mm] \bruch{(x|x|+|x-1|)-(x_{0}|x_{0}|+|x_{0}-1|)}{x-x_{0}}
[/mm]
Fallunterscheidung bei |x-1|:
für [mm] x\le1: [/mm] =-(x-1)
für x>1: x-1
Fallunterscheidung bei x|x|:
für x<0: [mm] -x^{2}
[/mm]
für x [mm] \ge [/mm] 0: [mm] x^{2}
[/mm]
demnach gibt es 3 Fälle:
(1) [mm] -\infty [/mm] < x <0
(2) 0 [mm] \le x\le [/mm] 1
(3) x>1
dafür dann folgende Formeln:
(1) [mm] \bruch{(-x^{2}-(x-1))-(x_{0}|x_{0}|+|x_{0}-1|)}{x-x_{0}}
[/mm]
(2) [mm] \bruch{(x^{2}-(x-1))-(x_{0}|x_{0}|+|x_{0}-1|)}{x-x_{0}}
[/mm]
(3) [mm] \bruch{(x^{2}+x-1)-(x_{0}|x_{0}|+|x_{0}-1|)}{x-x_{0}}
[/mm]
mit [mm] x_{0} [/mm] = 0 kann man dann die Formeln so weit umformen, dass man dastehen hat:
(1) y=-x-1 was einer Steigung von -1 entsprechen würde, Annäherung von links
(2) y=x-1 Steigung 1 bei Annäherung von rechts
(3) [mm] y=\bruch{x(x+)-2}{x} [/mm]
wie ist das zu interpretieren? mache ich etwas falsch?
Danke im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Do 08.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> g: [mm]\IR \to \IR:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] x|x|+|x-1|
>
> Untersuchen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten, ob g
> an den Stellen [mm]x_{0}[/mm] = 0 und [mm]x_{2}[/mm] = 1 differenzierbar
> ist.
> Hallo!
>
> Also mein Ansatz:
>
> [mm]\bruch{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(x|x|+|x-1|)-(x_{0}|x_{0}|+|x_{0}-1|)}{x-x_{0}}[/mm]
>
> Fallunterscheidung bei |x-1|:
> für [mm]x\le1:[/mm] =-(x-1)
> für x>1: x-1
>
> Fallunterscheidung bei x|x|:
> für x<0: [mm]-x^{2}[/mm]
> für x [mm]\ge[/mm] 0: [mm]x^{2}[/mm]
>
> demnach gibt es 3 Fälle:
>
> (1) [mm]-\infty[/mm] < x <0
> (2) 0 [mm]\le x\le[/mm] 1
> (3) x>1
>
> dafür dann folgende Formeln:
>
> (1)
> [mm]\bruch{(-x^{2}-(x-1))-(x_{0}|x_{0}|+|x_{0}-1|)}{x-x_{0}}[/mm]
>
> (2)
> [mm]\bruch{(x^{2}-(x-1))-(x_{0}|x_{0}|+|x_{0}-1|)}{x-x_{0}}[/mm]
>
> (3) [mm]\bruch{(x^{2}+x-1)-(x_{0}|x_{0}|+|x_{0}-1|)}{x-x_{0}}[/mm]
Das ist alles ok.
>
> mit [mm]x_{0}[/mm] = 0 kann man dann die Formeln so weit umformen,
> dass man dastehen hat:
>
> (1) y=-x-1 was einer Steigung von -1 entsprechen würde,
> Annäherung von links
stimmt
> (2) y=x-1 Steigung 1 bei Annäherung von rechts
stimmt nicht
> (3) [mm]y=\bruch{x(x+)-2}{x}[/mm]
>
> wie ist das zu interpretieren? mache ich etwas falsch?
Wenn x sich der Null annähert, muss dann x nicht den Bereich (3) irgendwann verlassen ?
>
> Danke im Voraus
>
Du musst jetzt Die Annäherung von x an 1 untersuchen und zwar einmal von links (Bereich (2)) und einmal von rechts (Bereich (3)).
Gruß Sax.
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Weißt du zufällig wo mein Fehler bei (2) liegen könnte? sehe ihn leider nicht.
Aber danke schonmal!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 So 11.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
für [mm] \epsilon [/mm] > 0 gilt $ [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow 0}0+\epsilon [/mm] -1=-1 $
Gruß Sax.
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hm okay, aber wieso klappt das mit meiner Methode nicht bei fall 2?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 14.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 Fr 09.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Du kannst das einfacher machen:
Wir setzen [mm] g_1(x):=x|x| [/mm] und [mm] g_2(x)=|x-1|. [/mm] Dann ist
(1) [mm] g=g_1+g_2
[/mm]
[mm] g_1 [/mm] ist in [mm] x_0=0 [/mm] differenzierbar, denn [mm] \bruch{g_1(x)-g_1(0)}{x-0}=|x| \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0.
[mm] g_1 [/mm] ist in [mm] x_0=1 [/mm] differenzierbar, denn für positive x ist [mm] g_1(x)=x^2.
[/mm]
Wir haben also, mit [mm] x_0=0 [/mm] oder [mm] x_0=1:
[/mm]
g ist in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar [mm] \gdw g_2 [/mm] ist in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar.
Sei [mm] x_0=0. [/mm] Für x<1 und x [mm] \ne [/mm] 0 ist
[mm] \bruch{g_2(x)-g_2(0)}{x-0}=\bruch{1-x-1}{x}=-1 \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0.
[mm] g_2 [/mm] ist also in [mm] x_0=0 [/mm] differenzierbar.
Sei [mm] x_0=1
[/mm]
Dann ist [mm] \bruch{g_2(x)-g_2(1)}{x-1}=\bruch{|x-1|}{x-1}
[/mm]
Für x>1 haben wir [mm] \bruch{g_2(x)-g_2(1)}{x-1}=1 [/mm] und für x<1 haben wir [mm] \bruch{g_2(x)-g_2(1)}{x-1}=-1 [/mm]
Also ex. der Grenzwert [mm] \limes_{x \rightarrow 1} \bruch{g_2(x)-g_2(1)}{x-1} [/mm] nicht.
Fazit: g ist in [mm] x_0=0 [/mm] differenzierbar, aber nicht in [mm] x_0=1.
[/mm]
FRED
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