Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Do 05.06.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Untersuche auf partielle und totale Diffbarkeit:
f(x,y)=|x-y|y |
f ist stetig und auf [mm] IR^2 [/mm] \ {(0,0)} partiell diffbar als Verkettung partiell diffbarer Funktionen.
f ist auch in (0,0) partiell diffbar mit
[mm] \limes_{h\rightarrow0} [/mm] f(h,0)/h =0 = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(0,h)/h
Die partiellen Ableitungen sind
Für x>y:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (x,y)= 2x-y
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] (x,y)= -x
x<y
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (x,y)= -2x+y
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] (x,y)= x
Weil f partiell diffbar ist auf [mm] IR^2 [/mm] und die partiellen Ableitungen stetig sind, ist f auf [mm] IR^2 [/mm] total diffbar.
Was meint ihr dazu?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Do 05.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Untersuche auf partielle und totale Diffbarkeit:
>
> f(x,y)=|x-y|y
> f ist stetig und auf [mm]IR^2[/mm] \ {(0,0)} partiell diffbar als
> Verkettung partiell diffbarer Funktionen.
Was sagst du dann dazu:
$(x,y)=(1,1)$.
> f ist auch in (0,0) partiell diffbar mit
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}[/mm] f(h,0)/h =0 =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(0,h)/h
Bei dem ersten steht [mm] $h\to [/mm] 0$ und beim zweiten [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
> Die partiellen Ableitungen sind
>
> Für x>y:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (x,y)= 2x-y
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (x,y)= -x
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Sei $x-y>0$, sodann $x>y$, dann folgt:
[mm] f(x,y)=(x-y)*y=xy-y^2.
[/mm]
Jetzt nochmal.
> x<y
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (x,y)= -2x+y
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (x,y)= x
Siehe oben.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:24 Fr 06.06.2014 | | Autor: | rollroll |
> Hallo,
>
>
> > Untersuche auf partielle und totale Diffbarkeit:
> >
> > f(x,y)=|x-y|y
Sry, hab mich vertippt, es ist f (x, y)=|x-y|x.
> > f ist stetig und auf [mm]IR^2[/mm] \ {(0,0)} partiell diffbar als
> > Verkettung partiell diffbarer Funktionen.
>
> Was sagst du dann dazu:
>
> [mm](x,y)=(1,1)[/mm].
>
> > f ist auch in (0,0) partiell diffbar mit
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow0}[/mm] f(h,0)/h =0 =
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(0,h)/h
>
> Bei dem ersten steht [mm]h\to 0[/mm] und beim zweiten [mm]n\to\infty[/mm].
Bei dem zweiten soll natürlich auch ein h ggen 0 stehen
> > Die partiellen Ableitungen sind
> >
> > Für x>y:
> >
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (x,y)= 2x-y
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (x,y)= -x
>
>
>
> Sei [mm]x-y>0[/mm], sodann [mm]x>y[/mm], dann folgt:
>
> [mm]f(x,y)=(x-y)*y=xy-y^2.[/mm]
>
> Jetzt nochmal.
>
> > x<y
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (x,y)= -2x+y
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (x,y)= x
>
> Siehe oben.
>
>
> Gruß
> DieAcht
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:37 Fr 06.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Deine partiellen Ableitungen sind korrekt (nachdem Du klargestellt hast , wie f lautet).
Aber: Du schreibst oben:
"Weil f partiell diffbar ist auf $ [mm] IR^2 [/mm] $ und die partiellen Ableitungen stetig sind, ist f auf $ [mm] IR^2 [/mm] $ total diffbar. "
Ich frage mich, woher Du das nimmst ! Du hast f in nur einem Punkt der Form (x,x) (nämlich in (0,0)) untersucht !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:59 Fr 06.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Also muss ich ganz allgemein den GW für x gegen (x, x) untersuchen für beliebige x? Bisher war immer nur der Punk (0,0) kritisch. Woher weiß ich dass ich hier noch weitere Punkte gesondert untersuchen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Fr 06.06.2014 | | Autor: | hippias |
Ja, wenn $(0,0)$ ein verdaechtiger Punkt ist, dann muss auch $(0,0)$ untersucht werden. Problematisch sind die Stellen an denen die Funktion vielleicht unstetig ist - rein auesserlich erkennst Du diese daran, dass die Funktion dann oft stueckweise definiert ist. Oder, wie in deinem Fall, dass sie einen Knick aufweisen koennte, denn die Betragsfunktion alleine hat einen Knick, in dem sie nicht differenzierbar ist.
Wenn man sich nicht sicher ist, musst Du einfach die Grenzwerte ganz allgemein an beliebigen Stellen untersuchen. Wenn du es ordentlich machst, findest Du dann die kritischen Stellen von alleine.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:26 Fr 06.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Aber f ist doch auf ganz [mm] IR^2 [/mm] stetig...
Welche Grenzwerte muss ich denn untersuchen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Fr 06.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Aber f ist doch auf ganz [mm]IR^2[/mm] stetig...
> Welche Grenzwerte muss ich denn untersuchen?
Es geht doch um (partielle) Differenzierbarkeit. Wir untersuchen mal die Funktion f in einem Punkt [mm] (x_0,x_0) [/mm] auf partielle Differenzierbarkeit nach x:
[mm] \bruch{f(x_0+h,x_0)-f(x_0,x_0)}{h}= \bruch{|h|(x_0+h)}{h}
[/mm]
Für welche [mm] x_0 [/mm] hat dieser Quotient einen Grenzwert füt h [mm] \to [/mm] 0 ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Fr 06.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Doch nur für [mm] x_0=0, [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Fr 06.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Doch nur für [mm]x_0=0,[/mm] oder?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Fr 06.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Ok, dann versuche ich nochmal zusammenzufassen:
f ist auf ganz [mm] IR^2 [/mm] stetig.
f ist partiell differenzierbar auf [mm] IR^2 [/mm] außer wenn x=y.
Ausnahme: f ist im Nullpunkt partiell differenzierbar.
f ist total differenzierbar auf [mm] IR^2 [/mm] außer wenn x=y. Denn dort ist f nicht partiell diffbar.
Geht das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Fr 06.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, dann versuche ich nochmal zusammenzufassen:
>
> f ist auf ganz [mm]IR^2[/mm] stetig.
Ja
>
> f ist partiell differenzierbar auf [mm]IR^2[/mm] außer wenn x=y.
>
> Ausnahme: f ist im Nullpunkt partiell differenzierbar.
Ja
>
> f ist total differenzierbar auf [mm]IR^2[/mm] außer wenn x=y. Denn
> dort ist f nicht partiell diffbar.
f ist in (0,0) partiell differenzierbar. Dass f in (0,0) nicht total differenzierbar ist, hast Du noch nicht gezeigt.
Das wird Dir auch nicht gelingen, denn f ist in (0,0) total differenzierbar.
Das musst Du noch zeigen.
FRED
>
>
> Geht das so?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Fr 06.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Folgt dies nicht daraus dass f in (0,0) partiell diffbar ist und die partiellen Ableitungen stetig sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Fr 06.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Folgt dies nicht daraus dass f in (0,0) partiell diffbar
> ist und die partiellen Ableitungen stetig sind?
Nein ! In jeder Umgebung von (0,0) liegen doch Punkte der Form (x,x). In diesen Punkten existieren die partiellen Ableitungen doch gar nicht !
Anleitung: berechne gradf(0,0) und zeige:
[mm] \bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)*(x,y)}{\wurzel{x^2+y^2}} \to [/mm] 0 für (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)
FRED
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Fr 06.06.2014 | | Autor: | rollroll |
[mm]\bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)*(x,y)}{\wurzel{x^2+y^2}} \to[/mm]
> 0 für (x,y) [mm]\to[/mm] (0,0)
> = [mm] \bruch{f(x,y)}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm]
Also muss ich zeigen [mm] \bruch{|x-y|x}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] -->0 für (x,y)-->(0,0). Muss ich an dieser Stelle noch irgendwelche Umformungen machen, oder ist das klar?
Ich habe noch eine Frage zu einem anderen Thread wo eine ähnliche Funktion thematisiert wurde (https://matheraum.de/read?t=1024031).
Weshalb muss man hier bei der partiellen Diffbarkeit nur den Punkt (0,0) gesondert untersuchen?
> FRED
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Fr 06.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)*(x,y)}{\wurzel{x^2+y^2}} \to[/mm]
> > 0 für (x,y) [mm]\to[/mm] (0,0)
>
> > = [mm]\bruch{f(x,y)}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
>
> Also muss ich zeigen [mm]\bruch{|x-y|x}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm] -->0
> für (x,y)-->(0,0). Muss ich an dieser Stelle noch
> irgendwelche Umformungen machen, oder ist das klar?
Witzbold ! Zeigen sollst Du das !!
Es ist z.B.:
[mm] $|\bruch{f(x,y)}{\wurzel{x^2+y^2}}| \le [/mm] |x-y|$
Warum ?
>
> Ich habe noch eine Frage zu einem anderen Thread wo eine
> ähnliche Funktion thematisiert wurde
> (https://matheraum.de/read?t=1024031).
> Weshalb muss man hier bei der partiellen Diffbarkeit nur
> den Punkt (0,0) gesondert untersuchen?
Stelle die Frage dort !
FRED
>
>
>
>
> > FRED
> >
>
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Sa 14.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Hierzu nochmal eine kurze Frage: Existiert nicht auch für [mm] x_0 [/mm] ungleich 0 ein Grenzwert, nämlich +/- [mm] x_0?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Sa 14.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hierzu nochmal eine kurze Frage: Existiert nicht auch für
> [mm]x_0[/mm] ungleich 0 ein Grenzwert, nämlich +/- [mm]x_0?[/mm]
Nein !!!!!
$ [mm] \bruch{f(x_0+h,x_0)-f(x_0,x_0)}{h}= \bruch{|h|(x_0+h)}{h} [/mm] $
[mm] \limes_{h\rightarrow 0+0}\bruch{|h|(x_0+h)}{h} =x_0
[/mm]
und
[mm] \limes_{h\rightarrow 0-0}\bruch{|h|(x_0+h)}{h} =-x_0
[/mm]
Ist [mm] x_0 \ne [/mm] 0 , so ist [mm] x_0= \ne -x_0
[/mm]
FRED
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