Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen
Habe soeben folgende Aufgabe gelöst, und möchte wissen ob meine Lösung stimmt.
Untersuchen Sie die Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR
[/mm]
[mm] f(x,y)=\wurzel[3]{x^2+y^2}
[/mm]
nach Differenzierbarkeit.
Also es gilt ja (zumindest in [mm] \IR): [/mm] f part. diffbar & part. Ableitungen stetig [mm] \Rightarrow [/mm] f diffbar
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} (x^2+y^2)^{\bruch{2}{3}}*2x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} (x^2+y^2)^{\bruch{2}{3}}*2y
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist part. diffbar.
Da die part. Ableitungen Kompositionen stetiger Funktionen sind & somit stetig sind [mm] \Rightarrow [/mm] f ist differenzierbar.
Vielen Dank für eure Hilfe!!
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Hallo,
> Hallo zusammen
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> Habe soeben folgende Aufgabe gelöst, und möchte wissen ob
> meine Lösung stimmt.
>
> Untersuchen Sie die Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm]
>
> [mm]f(x,y)=\wurzel[3]{x^2+y^2}[/mm]
> nach Differenzierbarkeit.
>
> Also es gilt ja (zumindest in [mm]\IR):[/mm] f part. diffbar & part.
> Ableitungen stetig [mm]\Rightarrow[/mm] f diffbar
In [mm]\IR[/mm]? Welchen Sinn haben partielle Ableitungen in [mm]\IR[/mm]?
Oder meintest du [mm]\IR^{\red 2}[/mm] ?
Ich nehme es mal an ...
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} (x^2+y^2)^{\bruch{2}{3}}*2x[/mm]
Wie kommt der Exponent zustande? Bei "mir" ist [mm]\frac{1}{3}-1=\red -\frac{2}{3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} (x^2+y^2)^{\bruch{2}{3}}*2y[/mm]
Hier ebenso
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist part. diffbar.
> Da die part. Ableitungen Kompositionen stetiger Funktionen
> sind & somit stetig sind
Außerhalb von [mm](0,0)[/mm] gebe ich dir ungesehen recht
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist differenzierbar.
Wie sieht das denn in [mm](0,0)[/mm] aus?
Das scheint mir hier die kritische Stelle zu sein ...
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!!
>
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus
Ok. Das war wirklich ein Tippfehler.
Hier also meine (hoffentlich) komplette & richtige Lösung:
Also es gilt ja (zumindest in [mm]\IR^2):[/mm] f part. diffbar & part. Ableitungen stetig [mm]\Rightarrow[/mm] f diffbar
Für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} (x^2+y^2)^{-\bruch{2}{3}}*2x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} (x^2+y^2)^{-\bruch{2}{3}}*2y
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] part. Ableitungen existieren & sind stetig, da Komposition stetiger Funktionen. [mm] \Rightarrow [/mm] f diffbar für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
Für (x,y,)=(0,0)
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (0,0) = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f((0,0)+(t,0))-f(0,0)}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{\wurzel[3]{t^2}}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} t^{-\bruch{1}{3}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Dieser Grenzwert existiert nicht, also ist f nicht partiell diffbar.
Analoges gilt für [mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] (0,0)
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist nicht diffbar für (x,y)=(0,0)
Zusammengefasst: f ist diffbar für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) & für (x,y)=(0,0) nicht diffbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:20 Do 28.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo schachuzipus
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> Ok. Das war wirklich ein Tippfehler.
> Hier also meine (hoffentlich) komplette & richtige Lösung:
>
> Also es gilt ja (zumindest in [mm]\IR^2):[/mm] f part. diffbar &
> part. Ableitungen stetig [mm]\Rightarrow[/mm] f diffbar
>
>
> Für (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0)
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} (x^2+y^2)^{-\bruch{2}{3}}*2x[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} (x^2+y^2)^{-\bruch{2}{3}}*2y[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] part. Ableitungen existieren & sind stetig, da
> Komposition stetiger Funktionen. [mm]\Rightarrow[/mm] f diffbar für
> (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0)
>
>
> Für (x,y,)=(0,0)
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (0,0) = [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f((0,0)+(t,0))-f(0,0)}{t}[/mm]
> = [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{\wurzel[3]{t^2}}{t}[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0} t^{-\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Dieser Grenzwert existiert nicht, also ist f
> nicht partiell diffbar.
> Analoges gilt für [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (0,0)
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist nicht diffbar für (x,y)=(0,0)
>
>
> Zusammengefasst: f ist diffbar für (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0) &
> für (x,y)=(0,0) nicht diffbar.
So ist es.
FRED
>
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Hallo
Habe nochmal eine kurze Frage.
Es gilt ja laut Wikipedia:
stetige partielle Differenzierbarkeit ⇒ totale Differenzierbarkeit ⇒ Differenzierbarkeit in jede Richtung ⇒ partielle Differenzierbarkeit
Aber im obigen Beispiel habe ich ja benutzt:
stetige partielle Differenzierbarkeit [mm] \gdw [/mm] totale Differenzierbarkeit
Gilt dies immer, oder nur in speziellen Räumen?
Dann noch eine Frage zum Satz von Schwarz
Der besagt ja:
Für f [mm] \in C^2(D_f,\IR^m) [/mm] gilt: [mm] \bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i}
[/mm]
Darf ich dann folgendes sagen???
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}\not=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i} \Rightarrow [/mm] f ist nicht diffbar
sowie
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i} \Rightarrow [/mm] f ist diffbar
Liebe Grüsse & danke für eure Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 Do 28.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> Habe nochmal eine kurze Frage.
> Es gilt ja laut Wikipedia:
> stetige partielle Differenzierbarkeit ⇒ totale
> Differenzierbarkeit ⇒ Differenzierbarkeit in jede
> Richtung ⇒ partielle Differenzierbarkeit
Das ist richtig
>
> Aber im obigen Beispiel habe ich ja benutzt:
> stetige partielle Differenzierbarkeit [mm]\gdw[/mm] totale
> Differenzierbarkeit
Das hast Du nicht benutzt ! Du hast benutzt: [mm] \Rightarrow
[/mm]
> Gilt dies immer,
Nein . Im allgemeinen ist [mm] \Leftarrow [/mm] falsch !!
Beispiel: [mm] f(x)=x^{3/2}sin(1/x) [/mm] für x [mm] \ne [/mm] 0 und f(0)=0.
f ist auf [mm] \IR [/mm] differenzierbar. f' ist in x=0 nicht stetig.
> oder nur in speziellen Räumen?
Räume ?????
FRED
>
> Liebe Grüsse & danke für eure Hilfe!
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Hallo
> > Hallo
> >
> > Habe nochmal eine kurze Frage.
> > Es gilt ja laut Wikipedia:
> > stetige partielle Differenzierbarkeit ⇒ totale
> > Differenzierbarkeit ⇒ Differenzierbarkeit in jede
> > Richtung ⇒ partielle Differenzierbarkeit
>
>
> Das ist richtig
>
>
> >
> > Aber im obigen Beispiel habe ich ja benutzt:
> > stetige partielle Differenzierbarkeit [mm]\gdw[/mm] totale
> > Differenzierbarkeit
>
>
> Das hast Du nicht benutzt ! Du hast benutzt: [mm]\Rightarrow[/mm]
>
>
> > Gilt dies immer,
>
> Nein . Im allgemeinen ist [mm]\Leftarrow[/mm] falsch !!
>
Aber in unseren Vorlesungsskript steht genau ein solcher Satz da:
Es seien [mm] D_f \subset \IR^n [/mm] offen und f: [mm] D_f \to \IR^m. [/mm] Dann gilt:
f ist stetig differenzierbar in [mm] D_f \gdw [/mm] f stetig partiell diffbar in [mm] D_f [/mm]
???
Dann noch eine Frage zum Satz von Schwarz
Der besagt ja:
Für f [mm] \in C^2(D_f,\IR^m) [/mm] gilt: [mm] \bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i}
[/mm]
Darf ich dann folgendes sagen???
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}\not=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i} \Rightarrow [/mm] f ist nicht diffbar
sowie
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i} \Rightarrow [/mm] f ist diffbar
> Beispiel: [mm]f(x)=x^{3/2}sin(1/x)[/mm] für x [mm]\ne[/mm] 0 und f(0)=0.
>
> f ist auf [mm]\IR[/mm] differenzierbar. f' ist in x=0 nicht stetig.
>
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> > oder nur in speziellen Räumen?
>
> Räume ?????
>
> FRED
> >
> > Liebe Grüsse & danke für eure Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Do 28.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> > > Hallo
> > >
> > > Habe nochmal eine kurze Frage.
> > > Es gilt ja laut Wikipedia:
> > > stetige partielle Differenzierbarkeit ⇒ totale
> > > Differenzierbarkeit ⇒ Differenzierbarkeit in jede
> > > Richtung ⇒ partielle Differenzierbarkeit
> >
> >
> > Das ist richtig
> >
> >
> > >
> > > Aber im obigen Beispiel habe ich ja benutzt:
> > > stetige partielle Differenzierbarkeit [mm]\gdw[/mm] totale
> > > Differenzierbarkeit
> >
> >
> > Das hast Du nicht benutzt ! Du hast benutzt: [mm]\Rightarrow[/mm]
> >
> >
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> > > Gilt dies immer,
> >
> > Nein . Im allgemeinen ist [mm]\Leftarrow[/mm] falsch !!
> >
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> Aber in unseren Vorlesungsskript steht genau ein solcher
> Satz da:
> Es seien [mm]D_f \subset \IR^n[/mm] offen und f: [mm]D_f \to \IR^m.[/mm]
> Dann gilt:
> f ist stetig differenzierbar in [mm]D_f \gdw[/mm] f stetig partiell
> diffbar in [mm]D_f[/mm]
Das ist aber etwas anderes als Du oben geschrieben hast !
1. f ist stetig differenzierbar in [mm] D_f [/mm] bedeutet: f ist in jedem Punkt aus [mm] D_f [/mm] total differenzierbar und die Ableitung f' ist auf [mm] D_f [/mm] stetig.
2. f ist stetig partiell differenzierbar in [mm] D_f [/mm] bedeutet: f ist in jedem Punkt aus [mm] D_f [/mm] partiell differenzierbar und sämtliche partiellen Ableitungen sind auf [mm] D_f [/mm] stetig.
>
> ???
>
>
>
> Dann noch eine Frage zum Satz von Schwarz
> Der besagt ja:
> Für f [mm]\in C^2(D_f,\IR^m)[/mm] gilt: [mm]\bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i}[/mm]
>
> Darf ich dann folgendes sagen???
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}\not=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i} \Rightarrow[/mm]
> f ist nicht diffbar
Nein.
> sowie
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i} \Rightarrow[/mm]
> f ist diffbar
Nein.
FRED
>
>
> > Beispiel: [mm]f(x)=x^{3/2}sin(1/x)[/mm] für x [mm]\ne[/mm] 0 und f(0)=0.
> >
> > f ist auf [mm]\IR[/mm] differenzierbar. f' ist in x=0 nicht stetig.
> >
> >
> >
> >
> > > oder nur in speziellen Räumen?
> >
> > Räume ?????
> >
> > FRED
> > >
> > > Liebe Grüsse & danke für eure Hilfe!
> >
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Hallo fred
> > Dann noch eine Frage zum Satz von Schwarz
> > Der besagt ja:
> > Für f [mm]\in C^2(D_f,\IR^m)[/mm] gilt: [mm]\bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i}[/mm]
>
> >
> > Darf ich dann folgendes sagen???
> > [mm] \bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}\not=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i} \Rightarrow
[/mm]
> > f ist nicht diffbar
>
> Nein.
>
>
> > sowie
> > [mm]\bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i} \Rightarrow[/mm]
> > f ist diffbar
>
> Nein.
>
> FRED
Wieso darf ich obiges nicht sagen?
[mm] C^2(D_f,\IR^m)=Raum [/mm] aller 2x stetig partiell diffbaren Funktionen.
Gilt also
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i}
[/mm]
Dann ist f doch 2x stetig diffbar, somit also diffbar, oder nicht?
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Do 28.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred
>
> > > Dann noch eine Frage zum Satz von Schwarz
> > > Der besagt ja:
> > > Für f [mm]\in C^2(D_f,\IR^m)[/mm] gilt: [mm]\bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Darf ich dann folgendes sagen???
> > > [mm]\bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}\not=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i} \Rightarrow[/mm]
>
> > > f ist nicht diffbar
> >
> > Nein.
> >
> >
> > > sowie
> > > [mm]\bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i} \Rightarrow[/mm]
> > > f ist diffbar
> >
> > Nein.
> >
> > FRED
>
> Wieso darf ich obiges nicht sagen?
Deine Frage war:
"$ [mm] \bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i} \Rightarrow [/mm] $ f ist diffbar"
Das gilt im allgemeinen nicht.
>
> [mm]C^2(D_f,\IR^m)=Raum[/mm] aller 2x stetig partiell diffbaren
> Funktionen.
> Gilt also
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i}[/mm]
>
> Dann ist f doch 2x stetig diffbar, somit also diffbar, oder
> nicht?
Ja, aber im Gegensatz zu Deiner ursprünglichen Frage setzt Du f [mm] \in C^2(D_f,\IR^m) [/mm] voraus !!!
FRED
>
> Liebe Grüsse
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Hallo Fred
Sorry, aber ich versteh langsam nichts mehr. Habe eingesehen dass meine Aussagen nicht stimmen.
Es gilt: (Satz von Schwarz)
f [mm] \in C^2(D_ [/mm] f, [mm] \IR^m) \Rightarrow \bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i}
[/mm]
Es gilt nicht:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i} \Rightarrow [/mm] f [mm] \in C^2(D_f,\IR^m)
[/mm]
Ist das so richtig?
Dann kann ich aber, da gilt:
A [mm] \Rightarrow [/mm] B ist äquivalent Nicht B [mm] \Rightarrow [/mm] Nicht A
sagen, dass wenn [mm] \bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}\not=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i} \Rightarrow [/mm] f [mm] \not\in C^2(D_f,\IR^m) [/mm]
Stimmt das?
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Do 28.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred
>
> Sorry, aber ich versteh langsam nichts mehr. Habe
> eingesehen dass meine Aussagen nicht stimmen.
> Es gilt: (Satz von Schwarz)
> f [mm]\in C^2(D_[/mm] f, [mm]\IR^m) \Rightarrow \bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i}[/mm]
>
> Es gilt nicht:
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i} \Rightarrow[/mm]
> f [mm]\in C^2(D_f,\IR^m)[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Ja
>
> Dann kann ich aber, da gilt:
> A [mm]\Rightarrow[/mm] B ist äquivalent Nicht B [mm]\Rightarrow[/mm] Nicht A
> sagen, dass wenn [mm]\bruch{\partial}{\partial x_i}\bruch{\partial f}{\partial x_j}\not=\bruch{\partial}{\partial x_j}\bruch{\partial f}{\partial x_i} \Rightarrow[/mm]
> f [mm]\not\in C^2(D_f,\IR^m)[/mm]
>
> Stimmt das?
Ja
FRED
>
> Liebe Grüsse
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