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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 So 22.01.2006 | | Autor: | Katrin85 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
[mm] f(x)=(-x^3-3x²+4x-8)/(x-1), x\in \IR\backslash \{1\} [/mm] .
Untersuchen Sie die Monotonie von f und leiten Sie daraus her, ob und wo f Extremalpunkte hat. Zeigen Sie anschließend, dass f genau eine Nullstelle hat. |
Hallo, ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich bei o. g. Aufgabe weiter weiß.
Ich habe nun zunächst mal die Ableitung bestimmt, da habe ich raus:
[mm] f'(x)=(-2x^3+6x+4)/(x-1)². [/mm] Stimmt das?
Was genau muss ich jetzt machen, wenn ich die Monotonie untersuchen will?
Für die Extremstellen muss ich die Ableitung doch = 0 setzen, oder? Da habe ich rausbekommen, dass die Ableitung 0 wird für x=2 und für x=-1 (doppelte Nullstelle). Ist das richtig?
Und was mache ich mit der Nullstelle, einfach die Funktion 0 setzen?
Ich würde mich freuen, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!
Danke, Katrin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Die Ableitung stimmt schon mal.
Für das Bestimmen des Monotonieverhaltens sind die Extremstellen sinnvoll. Ist das erste Extremum beispielsweise ein Minimum, weißt du dass die Funktion bis zu diesem Punkt monoton fallend ist. Ab diesem Punkt wird sie dann wohl steigen.
Soweit warst du zum Glück schon, da du ja die Ableitung null gesetzt hast und damit die Extremstellen erhältst. Nun ist aber auch noch die zweite Ableitung sinnvoll, da du mit deren Hilfe bestimmst, ob es sich um ein Maximum, oder um ein Minimum handelt. Ist die zweite Ableitung auch null, dann hast du einen Sattelpunkt und die Monotonie ändert sich nicht.
Um nachzuweisen, dass es höchstens eine Nullstelle gibt, muss man nicht unbedingt die Gleichung lösen (was in diesem Fall vielleicht etwas schwierig ist). In dieser Gleichung liegt der Hochpunkt unter Null und davor noch ein Sattelpunkt.
Die Funktion ist anfangs monoton steigend (weißt man am besten durch einsetzen von zwei Punkten kleiner als der erste Extrempunkt nach, der ja ein Sattelpunkt ist), dann kommt die Polstelle bei x=1 und anschließend der Hochpunkt. Damit ist es eigentlich offensichtlich, dass die Funktion nur eine Nullstelle hat, die vor dem erstem Extremum liegt.
Schönes Wochenende,
Roland.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hallo pi-roland!
Erst mal vielen, vielen Dank für deine Antwort! Mit deren Hilfe kann ich die Aufgabe auf jeden Fall schon mal beantworten, also alles, was du geschrieben hast, ist klar! Danke.
Ich habe nun aber doch noch eine Frage. Der Prof hat in der Vorlesung gesagt, wir sollten uns, wenn möglich immer die zweite Ableitung sparen und Monotonie und Extremstellen nur über die erste Ableitung bestimmen. Deswegen denke ich auch, dass in der Aufgabenstellung zunächst nach dem Monotonieverhalten gefragt ist. Kannst du mir da auch noch mal weiterhelfen?
Ich weiß, dass die Funktion monoton wachsend ist, wenn f'(x)>0 und monoton fallend, wenn f'(x)<0. Nur irgendwie weiß ich nicht, wie ich das konkret anwenden soll.
Wäre super, ist aber sozusagen nur "Bonus", kein Muss.
Danke, Katrin!
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Hallo Katrin!
Da hat er wohl Recht, der Prof. Aber so ganz kann ich dein Nichtverstehen nicht nachvollziehen. Schließlich hast du es ja schon richtig hingeschrieben. Ist die Ableitung an einer Stelle größer als 0, dann ist die Funktion monoton steigend. In dem Fall überprüfst du das mit einem x-Wert kleiner als dein erster Extrempunkt. Das gleiche machst du für einen Punkt zwischen den beiden Extrema (nimm aber nicht die Polstelle (x=1), da hättest du wohl Probleme mit dem Unendlichen) und für einen der rechts von beiden liegt.
Die Ableitungswerte der ersten beiden Punkte sind positiv. Daraus folgt, dass die Funktion monoton steigend ist und dass das Extremum ein Sattelpunkt ist.
Analog verfährst du mit dem dritten Punkt. f'(x) ist hier <0, die Funktion damit monoton fallend und das Extremum (da das Vorzeichen von + nach - geht) ein Hochpunkt.
Hoffentlich erklärt das alles,
Roland.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hallo pi-roland,
ja, jetzt ist alles klar. Mich hatte der Sattelpunkt verwirrt.
Dankeschön!
Katrin
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