Differenzierbarkeit? < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 So 18.06.2006 | | Autor: | Lisalou |
| Aufgabe | Wo sind die folgenden Funktionen differenzierbar? man begründe Differenzierbarkeit und Nichtdifferenzierbarkeit:
f(x)=|x| die drei Fälle sind zu untersuchen x<0 ; x>0, x=0 |
Wie kann ich die Differenzierbarkeit über folgende Formel :
f´(x) = lim von h-->0 (f(x+h)-f (x)) / h prüfen?
Antwortet mir bitte schnell 
Liebn Gruß Lisalou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 So 18.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Wo sind die folgenden Funktionen differenzierbar? man
> begründe Differenzierbarkeit und Nichtdifferenzierbarkeit:
>
> f(x)=|x| die drei Fälle sind zu untersuchen x<0 ; x>0,
> x=0
> Wie kann ich die Differenzierbarkeit über folgende Formel
> :
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> f´(x) = lim von h-->0 (f(x+h)-f (x)) / h prüfen?
>
> Antwortet mir bitte schnell
>
> Liebn Gruß Lisalou
Hallo,
Zuallererst einmal brauchst die die Definition der Betragsfunktion.
[mm] |x|=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x \le 0 \end{cases}
[/mm]
Fangen wir mit den einfacheren Fällen x [mm] \not= [/mm] 0 an.
1. x > 0.
Wenn du den Differenzquotient an der Stelle x bildest (ich erspare mal das [mm] x_{0}, [/mm] also
[mm] \bruch{|x+h| - |x|}{h} [/mm] und rechen weiter.
Dann ergibt sich:
[mm] \bruch{|x+h| - |x|}{h} [/mm] = Per definition [mm] \bruch{x+h - x}{h} [/mm] = 1.
Ähnliches gilt
für x < 0, es gilt: [mm] \bruch{|x+h| - |x|}{h} [/mm] = -1.
Der Fall x = 0 ist leider nicht ganz so einfach:
Wenn du den Limes des Diff.-Quotienten bildest, und dich der 0 von "links", also aus dem negativen Bereich erhältst du als Grenzwert -1, wenn du das gleiche von "rechts" tust, erhätst du den Grenzwert 1. Dieses führt dazu, dass die Betragsfunktion an der Stelle x= 0 nicht Differenzierbar ist. (Stetig ist sie, das kann man mit Hilfe der Stetigkeitsdefinition nachrechnen).
Ich hoffe, das hilft.
Marius
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