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Hallo,
ich soll am Freitag vor der Klasse kurz erläutern, wie festgestellt werden kann ob eine Funktion differenzierbar ist oder nicht. Mir ist eigentlich soweit klar, wie das funktioniert, jedoch wirft sich dort ein Problem auf und zwar hier:
Die Funktion ist: f(x):=|x-2| [mm] x_0=2 [/mm] wie bestimme ich jetzt den grenzwert ?? Das Problem ist, ich muss mich doch einmal von rechts und von links nähern, aber ich bekomme z.B für 1 und für 3 den gleich grenzwert heraus.
Ich habe mir jetzt eine andere Methode überlegt, die aber nur hier funktioniert:
Man kann ja |x-2| in -x+2 und x-2 zerlegen, dass sind dann zwei sich schneidende geraden die im positiven Bereich die Betragsfunktion bilden, diese Geraden haben ja unterschiedliche Steigungen und somit unterschiedliche Grenzwerte.
Wäre super wenn mir das obere jemand erklären könnte, dankeschön!
Bis denn
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Hi, eXeQteR,
> Hallo,
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> ich soll am Freitag vor der Klasse kurz erläutern, wie
> festgestellt werden kann ob eine Funktion differenzierbar
> ist oder nicht. Mir ist eigentlich soweit klar, wie das
> funktioniert, jedoch wirft sich dort ein Problem auf und
> zwar hier:
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> Die Funktion ist: f(x):=|x-2| [mm]x_0=2[/mm] wie bestimme ich jetzt
> den grenzwert ?? Das Problem ist, ich muss mich doch einmal
> von rechts und von links nähern, aber ich bekomme z.B für 1
> und für 3 den gleich grenzwert heraus.
Bei x=1 und x=3 brauchst Du keine Grenzwerte, denn dort gibt's keine Probleme mit Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
Die einzig kritische Stelle ist x=2.
Und da gibt's nun 2 Möglichkeiten, die Differenzierbarkeit zu begründen bzw. zu widerlegen:
a) Mit den Grenzwerten des Differenzenquotienten von links und von rechts.
b) So wie Du es vorschlägst:
> Ich habe mir jetzt eine andere Methode überlegt, die aber
> nur hier funktioniert:
> Man kann ja |x-2| in -x+2 und x-2 zerlegen, dass sind dann
> zwei sich schneidende geraden die im positiven Bereich die
> Betragsfunktion bilden, diese Geraden haben ja
> unterschiedliche Steigungen und somit unterschiedliche
> Grenzwerte.
Ausführlich also:
f(x) = [mm] \begin{cases} x - 2, & \mbox{für } x \ge 2 \\ - x + 2, & \mbox{für } x < 2 \end{cases}
[/mm]
Hier musst Du nun zunächst die Stetigkeit von f für x=2 nachweisen.
(Die ist natürlich vorhanden mit f(2) = 0.)
Dann bildest Du die Ableitung:
f'(x) = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } x > 2 \\ - 1, & \mbox{für } x < 2 \end{cases}
[/mm]
Die Grenzwerte der Ableitung von links und von rechts gegen x=2 stimmen offensichtlich nicht überein; daher ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Mi 22.11.2006 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
also den Begriff der Stetigkeit haben wir leider noch nicht definiert. Mir ist nicht ganz klar, wann ich was ableiten kann. Wenn man jetzt z.B eine solche Funktion hat:
[mm] \bruch{x}{|x|+1} x_0=0 [/mm] und (x-1)*|x-1| [mm] x_0=1
[/mm]
Wie gehe ich dann vor ? Bei der eben genannten Funktion war das noch recht einfach.
Aber dein Post hat schon mal ein wenig licht ins dunkel gebracht.
Bis dann
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Hi,
also den Begriff der Stetigkeit haben wir leider noch nicht definiert. Mir ist nicht ganz klar, wann ich was ableiten kann. Wenn man jetzt z.B eine solche Funktion hat:
$ [mm] \bruch{x}{|x|+1} x_0=0 [/mm] $ und (x-1)*|x-1| $ [mm] x_0=1 [/mm] $
Wie gehe ich dann vor ? Bei der eben genannten Funktion war das noch recht einfach.
Aber dein Post hat schon mal ein wenig licht ins dunkel gebracht.
Bis dann
Sry hab vergessen die Mitteilung ijn Frageartikel umzuwandeln
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Hallo!
Mal eine "quick 'n dirty" Definition von "stetig", die in den meisten Fällen für die Schüle ausreicht:
Stetig ist, was man ohne absetzen zeichnen kann.
(ja ja, für alle Fanatiker: rechnet es doch mit dem epsilon-delta-Kriterium nach)
Differenzierbar ist das, was keine Knicke und Sprünge oder Lücken hat.
$f : [mm] \; [/mm] x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] ist zeichenbar ohne abzusetzen, hat keine Lücken und ist auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] differenzierbar.
$f: [mm] \; [/mm] x [mm] \mapsto \frac [/mm] 1x$ ist auf dem gesamten Definitionsbereich stetig und auf dem ganzen Definitionsbereich dff'bar. Nur eben nicht auf ganz [mm] $\IR$, [/mm] denn bei $x=0$ ist $f$ nicht definiert.
[mm] $f:\; [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] |x|$ ist zwar stetig, aber nicht diff'bar, wie oben schon begründet. Rechtseitiger Grenzwert ist nicht gleich linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten. Im Schaubild hat es von links kommend eine andere Steigung als von rechts kommend (links und rechts anschaulich im Koordinatensystem).
$f: [mm] \; [/mm] x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] besprechen
$f: [mm] \; [/mm] x [mm] \mapsto \sin(x)$ [/mm] besprechen
Halt aus jeder Funktionengruppe einen ....
Viel graphisch mit Schaubildern arbeiten, evtl. GTR einsetzen
Gruß + Viel Erfolg
mathemak
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Hi nochmal,
mein Problem ist jetzt, wann weiß ich denn wann ich die ableitung bilden kann ? muss ich die funktion erst auseinander nehmen und dann jeden teil einzeln ableiten, so wie bei |x-2| dann sehe ich ja, dass es -1 und 1 ist. Wäre das ne möglichkeit oder geht es auch mithilfe des Differentialquotienten, also [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] ??
Bis denn
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Hallo eXeQteR,
> Hi nochmal,
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> mein Problem ist jetzt, wann weiß ich denn wann ich die
> ableitung bilden kann ? muss ich die funktion erst
> auseinander nehmen und dann jeden teil einzeln ableiten, so
> wie bei |x-2| dann sehe ich ja, dass es -1 und 1 ist. Wäre
> das ne möglichkeit oder geht es auch mithilfe des
> Differentialquotienten, also [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> ??
>
na klar: du näherst dich dem [mm] x_0 [/mm] einmal von rechts und einmal von links und vergleichst die beiden Grenzwerte:
sind sie gleich: diff.bar
sind sie nicht gleich: nicht diff.bar
Gruß informix
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Hi,
ich glaube mir ist es jetzt soweit klar, man muss die funktionen zerlegen, und sich klar machen, welches der recht bzw. linke teil ist, denn die meisten funktionen sind nur an "knickstellen" nicht diff.bar. Das funktioniert indem ich mir überlege, was ich denn für |x-2| noch schreiben kann, in diesem falle einmal: x-2 und -x+2. Wenn man das jetzt ableitet, sieht man, dass die Grenzwerte unterschiedlich sind und somit: Nicht diff.bar.
So korrekt ??
Bis denn
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Hallo eXeQteR,
> Hi,
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> ich glaube mir ist es jetzt soweit klar, man muss die
> funktionen zerlegen, und sich klar machen, welches der
> recht bzw. linke teil ist, denn die meisten funktionen sind
> nur an "knickstellen" nicht diff.bar. Das funktioniert
> indem ich mir überlege, was ich denn für |x-2| noch
> schreiben kann, in diesem falle einmal: x-2 und -x+2. Wenn
> man das jetzt ableitet, sieht man, dass die Grenzwerte
> unterschiedlich sind und somit: Nicht diff.bar.
>
> So korrekt ??
jawoll! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Gruß informix
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