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Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:38 Mi 25.06.2008
Autor: domenigge135

Hallo zusammen. Ich habe mal eine wichtige Frage.

Gegeben sei die Funktion f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \to \begin{cases} 0, & \mbox{} x\le 0 \mbox{} \\ exp(\bruch{-1}{x}), & \mbox{} x>0 \mbox{} \end{cases} [/mm]
Zeigen Sie das f auf ganz [mm] \IRdifferenzierbar [/mm] ist und geben Sie die Ableitung ab.

Also gut. Da ja Stetigkeit notwendig für differenzierbarkeit ist, würde ich hier als allererstes ansetzen. Da es sich um 0, x [mm] \le [/mm] 0 um eine stetige Ergänzung handelt, reicht es, [mm] exp(\bruch{-1}{x}), [/mm] x>0 auf stetigkeit zu überprüfen. Das heißt ich benötige hier, [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}exp(\bruch{-1}{x}) [/mm] (das soll der rechtsseitige Grenzwert sein) und der Grenzwert dieser Funktion ist 0 (wie könnte ich das aber konkret beweisen???) Von daher wäre die Funktion an der Stelle 0 und somit auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar.

Zu der ABleitung komme ich im nächsten Thread. MFG domenigge135

        
Bezug
Differenzierbarkeit: Anschauung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:44 Mi 25.06.2008
Autor: Loddar

Hallo domenigge!


Wohin strebt denn [mm] $-\bruch{1}{x}$ [/mm] für [mm] $x\rightarrow 0\downarrow$ [/mm] ?

Und wohin strebt [mm] $e^z$ [/mm] für [mm] $z\rightarrow-\infty$ [/mm] ?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:50 Mi 25.06.2008
Autor: domenigge135

Ja so ging mir das auch gerade durch den kopf [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{-1}{x}=-\infty [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}exp(-\infty)=0 [/mm] Wenn man das so schreiben kann. Ansonsten nehme ich deine Schreibweise. Für die ABleitung verwende ich die Kettenregel. Die bringt mich dann auf [mm] \bruch{exp(\bruch{-1}{x})}{x^2} [/mm]

MFG domenigge135

Bezug
                        
Bezug
Differenzierbarkeit: Lsg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:05 Mi 25.06.2008
Autor: ron

Hallo,

es ist die Berechnung nicht vollständig, wenn auch i.O.

Die Ableitung soll für die GESAMTE Funktion angegeben werden. Wie war gleich der Definitionsbereich? f(x)=0 ergibt f'(x)=0 ist immer wieder ein Polynome vom Grad Null.

Hinweis: Bei einigen Funktionen ist die Umwandlung der Brüche in Potenzen leichter zu handhaben:

[mm] exp(\bruch{-1}{x}) [/mm] = [mm] exp(-x^{-1}) [/mm]

Somit die Ableitung nach Kettenregel: exp(- [mm] x^{-1} [/mm] ) * [mm] -(-1)x^{-2} [/mm]

Entspricht nach Umschreibung wieder der angegeben Lösung, allerdings nur für x>0!

Gruß
Ron

Bezug
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