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Guten Morgen zusammen. Ich habe mal eine dringende Frage zu folgender Funktion:
[mm] g(x)=\begin{cases} x^2sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Zunächst käme mir nun die Idee in den Sinn, die STetigkeit dieser Funktion zu prüfen, das diese ja Voraussetzung für die Differenzierbarkeit (diff'barkeit) ist.
Stetigkeit: Nach dem Einschließungskriterium gilt ja: seien [mm] (a_n), (b_n), (c_n) [/mm] Folgen reeller Zahlen, mit [mm] a_n\le b_n\le c_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Falls die Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (c_n) [/mm] konvergeiren und den gleichen Grenzwert a haben, so konvergiert auch die FOlge [mm] (b_n) [/mm] und ihr Grenzwert ist ebenfalls a.
Für mich würde das nun folgendes bedeuten:
Der Term [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] hat bei [mm] x_0=0 [/mm] keinen Grenzwert, da [mm] \bruch{1}{x} [/mm] nach unendlich wächst und der Sinus daher unendlich oft alle Werte zwischen -1 und 1 annimmt. Da der Sinus allerdings beschränkt ist (obere Schranke 1 und untere Schranke -1) [mm] \Rightarrow [/mm] Wegen [mm] -1\le sin(\bruch{1}{x})\le [/mm] 1 ist [mm] -x^2\le sin(\bruch{1}{x})\le x^2 [/mm] und da die beiden äußeren Terme für [mm] x_0\rightarrow0 [/mm] den Grenzwert 0 haben, hat auch [mm] x^2sin(\bruch{1}{x}) [/mm] denselben Grenzwert.
Also ist die Funktion Stetig.
Für den Differenzenquotienten an der STelle [mm] x_0=0 [/mm] gilt:
[mm] f'(x_0)=\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
Allerdings tue ich mich nun leider immer ein bischen schwer, was jetzt nicht nur an dieser AUfgabe liegt. ich würde nun schreiben:
[mm] 2\*0sin(\bruch{1}{0})-cos(\bruch{1}{0})=\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{x^2sin(\bruch{1}{x})-0}{x-0} \Rightarrow 2\*0sin(\bruch{1}{0})-cos(\bruch{1}{0})=\limes_{x\rightarrow\ 0}xsin(\bruch{1}{x})
[/mm]
Ja und dann halt das Problem [mm] 2\*0sin(\bruch{1}{0})-cos(\bruch{1}{0})
[/mm]
und [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}xsin(\bruch{1}{x}) [/mm] zu bestimmen.
Hoffe ihr könnt mir helfen. MFG domenigge135
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> Guten Morgen zusammen. Ich habe mal eine dringende Frage zu
> folgender Funktion:
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> [mm]g(x)=\begin{cases} x^2sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Da der
> Sinus allerdings beschränkt ist (obere Schranke 1 und
> untere Schranke -1) [mm]\Rightarrow[/mm] Wegen [mm]-1\le sin(\bruch{1}{x})\le[/mm]
> 1 ist [mm]-x^2\le sin(\bruch{1}{x})\le x^2[/mm]
Hallo,
Du meinst sicher
[mm] -x^2\le x^2 sin(\bruch{1}{x})\le x^2,
[/mm]
so stimmt das dann.
> Für den Differenzenquotienten an der STelle [mm]x_0=0[/mm] gilt:
>
> [mm]f'(x_0)=\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
Nein. Das gilt nur, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existeirt, und das willst Du ja erst herausfinden.
(Wenn der nicht existiert, gibt's an der Stelle keine Ableitung.)
>
> [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{x^2sin(\bruch{1}{x})-0}{x-0}
[/mm]
> [mm] =\limes_{x\rightarrow\ 0}xsin(\bruch{1}{x})[/mm]
[/mm]
Hier mußt du nun entscheiden, ob es diesen Grenzwert gibt, sofern er existiert, ist das dann die Ableitung an der Stelle 0.
Den Dreh ffür die Berechnung sieses grenzwertes kennst Du ja schon.
Gruß v. Angela
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Gut ich probiers nochmal
es gilt ja für den Differenzenquotienten [mm] f'(x_0)=\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{x^2sin(\bruch{1}{x})-0}{x-0}=\limes_{x\rightarrow\ 0}xsin(\bruch{1}{x}) [/mm] und dieser Grenzwert ist, wenn ich mit dem Einschließungskriterium rangehe 0. Damit ist g in [mm] x_0=0 [/mm] diff'bar und g'(0)=0.
Aber nun einmal zu folgender Aufgabe. Und zwar [mm] h(x)=\begin{cases} cos(x), & \mbox{für } x<0 \mbox{} \\ 2x+1, & \mbox{für } x\ge0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Die STetigkeit für diese Funktion ist im Punkt [mm] x_0=0 [/mm] gegeben. Für den Differenzenquotienten gilt: [mm] f'(x_0)=\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ 0^-}\bruch{cos(x)-1}{x-0} [/mm] hier kann ich meiner Mainung nach nicht mit dem Einschließungskriterium rangehen. oder muss ich das auch garnicht??? MFG domenigge135
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> Gut ich probiers nochmal
> es gilt ja für den Differenzenquotienten
> [mm]f'(x_0)=\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
Ich hab's schon in meinem anderen Post gesagt, und ich betone es nochmal: das gilt nur, wenn dieser Grenzwert des Differenzen quotienten existiert!
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{x^2sin(\bruch{1}{x})-0}{x-0}=\limes_{x\rightarrow\ 0}xsin(\bruch{1}{x})[/mm]
> und dieser Grenzwert ist, wenn ich mit dem
> Einschließungskriterium rangehe 0. Damit ist g in [mm]x_0=0[/mm]
> diff'bar und g'(0)=0.
Ja, so ist das.
Wenn Du das mal plottest, siehst Du auch - rein vom Gefühl her - die Differenzierbarkeit.
>
> Aber nun einmal zu folgender Aufgabe. Und zwar
> [mm]h(x)=\begin{cases} cos(x), & \mbox{für } x<0 \mbox{} \\ 2x+1, & \mbox{für } x\ge0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Die STetigkeit für diese Funktion ist im Punkt [mm]x_0=0[/mm]
> gegeben. Für den Differenzenquotienten gilt:
> [mm]f'(x_0)=\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
Wie gesagt: das ist grottenfalsch.
Du willst ja erst untersuchen, ob es den Grenzwert des Differenzenquotienten gibt.
Dazu tust Du aber das Richtige:
>
> [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0^-}\bruch{cos(x)-1}{x-0}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\ 0^-}\bruch{cos(x)-1}{x}
[/mm]
> hier kann ich meiner Mainung nach nicht mit dem
> Einschließungskriterium rangehen. oder muss ich das auch
> garnicht???
Es gibt ja keine Pflicht, das Einschließungskriterium zu verwenden. Jede andere Methode, mit der Du an den Grenzwert kommst, ist recht.
Hier bietet sich doch der allgemein so beliebte L'Hospital an.
Gruß v. Angela
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Stimmt den hatte ich ganz vergessen. denn wir haben ja [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
Okay aber sag mir mal bitte, warum [mm] f'(x_0)=\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] so grottenfalsch ist??? Ich habe das so laut Skript herausgeschrieben. Was muss ich denn dann deiner Meinung nach schreiben???
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Mo 29.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Der Differenzenquotient ist
[mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
und der Differentialquotient ist
[mm] $\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] $ ,
falls dieser Grenzwert existiert. In diesem falle wird dieser Grenzwert mit [mm] f'(x_0) [/mm] bezeichnet.
FRED
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Nagut dann muss ich mir das mal einprägen.
Danke und...
...MFG domenigge135
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Mo 29.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Nagut dann muss ich mir das mal einprägen.
Du tust gut daran
FRED
> Danke und...
> ...MFG domenigge135
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