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| Aufgabe | Für die Funktion [mm] f(x)=\begin{cases} \frac{xy}{\sqrt(x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
entscheide man, ob sie im Punkt (0,0) total differenzierbar ist. |
Hallo,
ich habe ein Problem mit obiger Aufgabe.
Ich bin wie folgt vorgegangen .. stetig ist sie im Punkt (0,0), also muss ich schauen, ob sie partiell diffbar ist im Punkt (0,0) .. das gilt auch!
Also muss ich nun schauen, ob die partiellen Ableitungen in einer Umgebung um den Pkt (0,0) existieren und dort stetig sind. Das ist nicht der Fall :-(
Also muss ich nun schauen, ob
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{f(x,y) - f(0,0) - grad(f)(0,0)*\vektor{x \\ y}}{|\vektor{x\\y}|} [/mm] = 0
gilt.
Mit Polarkoordinaten erhalte ich allerdings hier als Grenzwert [mm] sin(\phi)*cos(\psi) [/mm] was nicht Null ist.
Ist die Funktion also ncht diffbar?
Liebe Grüße,
ski-freak :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Fr 06.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Für die Funktion [mm]f(x)=\begin{cases} \frac{xy}{\sqrt(x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
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> entscheide man, ob sie im Punkt (0,0) total differenzierbar
> ist.
> Hallo,
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> ich habe ein Problem mit obiger Aufgabe.
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> Ich bin wie folgt vorgegangen .. stetig ist sie im Punkt
> (0,0), also muss ich schauen, ob sie partiell diffbar ist
> im Punkt (0,0) .. das gilt auch!
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> Also muss ich nun schauen, ob die partiellen Ableitungen in
> einer Umgebung um den Pkt (0,0) existieren und dort stetig
> sind. Das ist nicht der Fall :-(
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> Also muss ich nun schauen, ob
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> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{f(x,y) - f(0,0) - grad(f)(0,0)*\vektor{x \\ y}}{|\vektor{x\\y}|}[/mm]
> = 0
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> gilt.
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> Mit Polarkoordinaten erhalte ich allerdings hier als
> Grenzwert [mm]sin(\phi)*cos(\psi)[/mm] was nicht Null ist.
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> Ist die Funktion also ncht diffbar?
Ja, aber einfacher gehts, wenn Du in
$ [mm] \frac{f(x,y) - f(0,0) - grad(f)(0,0)\cdot{}\vektor{x \\ y}}{||\vektor{x\\y}||} [/mm] $
einfach mal x=y setzt. Dann ist der obige Quotient = ?
FRED
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> Liebe Grüße,
> ski-freak :D
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