Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Do 07.01.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Ich habe eine generelle Frage, und zwar wann man aus Stetigkeit einer Funktion auch Differenzierbarkeit eben dieser Funktion folgern kann und hab so die Vermutung, dass zum Beispiel stetige, bijektive Funktionen immer differenzierbar sind bzw. nur stetige und zugleich injektive schon ausreichen würden für die Differenzierbarkeit? Falls das nicht stimmen sollte, gibt es Beispiele die meine Vermutung widerlegen?
Ganz sicher bin ich mir, dass zum Beispiel surjektiv+ stetig für Differenzierbarkeit nicht ausreicht, denn [mm] f:\IR \to \IR^{+} [/mm] mit f(x)= |x| wäre zwar surjektiv und stetig aber im Punkt 0 nicht differenzierbar.
Wäre euch um jede gute Antwort dankbar.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Do 07.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Ich habe eine generelle Frage, und zwar wann man aus
> Stetigkeit einer Funktion auch Differenzierbarkeit eben
> dieser Funktion folgern kann und hab so die Vermutung, dass
> zum Beispiel stetige, bijektive Funktionen immer
> differenzierbar sind bzw. nur stetige und zugleich
> injektive schon ausreichen würden für die
> Differenzierbarkeit? Falls das nicht stimmen sollte, gibt
> es Beispiele die meine Vermutung widerlegen?
Die gibt es: die Funktion $f: [0, [mm] \infty) \to [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] , f(x) = [mm] \wurzel{x}$
[/mm]
ist stetig, bijektiv, aber im Nullpunkt ist f nicht differenzierbar.
FRED
> Ganz sicher bin ich mir, dass zum Beispiel surjektiv+
> stetig für Differenzierbarkeit nicht ausreicht, denn [mm]f:\IR \to \IR^{+}[/mm]
> mit f(x)= |x| wäre zwar surjektiv und stetig aber im Punkt
> 0 nicht differenzierbar.
>
> Wäre euch um jede gute Antwort dankbar.
>
> Viele Grüße
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> > Hallo,
> > Ich habe eine generelle Frage, und zwar wann man aus
> > Stetigkeit einer Funktion auch Differenzierbarkeit eben
> > dieser Funktion folgern kann und hab so die Vermutung, dass
> > zum Beispiel stetige, bijektive Funktionen immer
> > differenzierbar sind bzw. nur stetige und zugleich
> > injektive schon ausreichen würden für die
> > Differenzierbarkeit? Falls das nicht stimmen sollte, gibt
> > es Beispiele die meine Vermutung widerlegen?
>
>
> Die gibt es: die Funktion [mm]f: [0, \infty) \to [0, \infty) , f(x) = \wurzel{x}[/mm]
>
> ist stetig, bijektiv, aber im Nullpunkt ist f nicht
> differenzierbar.
>
> FRED
Hallo zusammen,
damit man hier nicht von Differenzierbarkeit am Rand
des Definitionsbereichs sprechen muss (was ja ohnehin
nur einseitige Differenzierbarkeit bedeuten könnte),
kann man natürlich auch die Funktion
$\ f: [mm] \IR \to \IR\ [/mm] ,\ f(x)\ =\ [mm] sgn(x)*\wurzel{|x|}$
[/mm]
nehmen. Immerhin ist dann aber der Graph dieser
Funktion insofern eine überall differenzierbare Kurve
(z.B. als parametrisierte Kurve beschrieben), als sie
in jedem ihrer Punkte eine eindeutig bestimmte
Tangente hat. Die Differenzierbarkeit der Funktion
scheitert also nur deshalb an der Stelle x=0, weil dort
die (sehr wohl existierende) Tangente vertikal steht
und deshalb keine endliche Steigung besitzt.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Fr 08.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> damit man hier nicht von Differenzierbarkeit am Rand
> des Definitionsbereichs sprechen muss (was ja ohnehin
> nur einseitige Differenzierbarkeit bedeuten könnte),
> kann man [...]
Man kann für beliebige Mengen [mm] $M\subset\IR^n$ [/mm] auch definieren: [mm] $f:M\to\IR^m$ [/mm] ist differenzierbar, falls es eine offene Menge [mm] $M\supset U\supset\IR^n$ [/mm] gibt und eine differenzierbare Funktion [mm] $\hat{f}:U\to\IR^m$ [/mm] mit [mm] $\hat{f}|_M=f$. [/mm] Allerdings ist dann i.A. $df(x)$ nicht mehr eindeutig definiert, wenn [mm] $x\in [/mm] M$ z.B. ein isolierter Punkt ist.
Eine Funktion [mm] $f:[a,b)\to\IR$ [/mm] ist in diesem Sinne natürlich genau dann in $a$ differenzierbar, wenn sie dort "rechtsseitig" Differenzierbar ist, insofern ist das natürlich genau das was du geschrieben hast. 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Do 07.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Nur zur Info: Es gibt stetige Funktionen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$, [/mm] die nirgendwo differenzierbar sind. Aber immerhin sind monotone Funktionen fast überall differenzierbar
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Do 07.01.2010 | | Autor: | ms2008de |
Danke soweit, eine stetige Funktion die nirgendwo diffbar ist , hab ich schon in der Vorlesung kennengelernt, das war so eine Potenzreihe die aber auch extrem stark schwingt.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Fr 08.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke soweit, eine stetige Funktion die nirgendwo diffbar
> ist , hab ich schon in der Vorlesung kennengelernt, das war
> so eine Potenzreihe die aber auch extrem stark schwingt.
Eine Potenzreihe war das mit Sicherheit nicht .... !
FRED
>
> Viele Grüße
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Fr 08.01.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> > Danke soweit, eine stetige Funktion die nirgendwo diffbar
> > ist , hab ich schon in der Vorlesung kennengelernt, das war
> > so eine Potenzreihe die aber auch extrem stark schwingt.
>
>
> Eine Potenzreihe war das mit Sicherheit nicht .... !
Es war jedenfalls die Funktion f mit f(x):= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}[(\bruch{3}{4})^n *\alpha(4^n*x)] [/mm] wobei [mm] \alpha(x):= [/mm] |x| für -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 und [mm] \alpha(x+2) [/mm] = [mm] \alpha(x).
[/mm]
Viele Grüße
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> Hallo,
> > > Danke soweit, eine stetige Funktion die nirgendwo
> diffbar
> > > ist , hab ich schon in der Vorlesung kennengelernt, das war
> > > so eine Potenzreihe die aber auch extrem stark schwingt.
> >
> >
> > Eine Potenzreihe war das mit Sicherheit nicht .... !
>
> Es war jedenfalls die Funktion f mit f(x):=
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}[(\bruch{3}{4})^n *\alpha(4^n*x)][/mm]
> wobei [mm]\alpha(x):=[/mm] |x| für -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 und [mm]\alpha(x+2)[/mm] =
> [mm]\alpha(x).[/mm]
>
> Viele Grüße
... es sind halt nicht alle Reihen, in denen irgend-
welche Potenzen (hier noch multipliziert mit dem
Term [mm] \alpha(4^n*x) [/mm] ) addiert werden, wirklich Potenzreihen.
In einer Potenzreihe mit der Variablen x dürfen nur
Glieder der Form [mm] a_k*x^k [/mm] mit [mm] k\in\IN_0 [/mm] und [mm] a_k\in\IR [/mm] auftreten.
Übrigens müsstest du in deiner Formel das i in n
(oder umgekehrt) umbenennen.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Fr 08.01.2010 | | Autor: | ms2008de |
> > Hallo,
> > > > Danke soweit, eine stetige Funktion die nirgendwo
> > diffbar
> > > > ist , hab ich schon in der Vorlesung kennengelernt, das war
> > > > so eine Potenzreihe die aber auch extrem stark schwingt.
> > >
> > >
> > > Eine Potenzreihe war das mit Sicherheit nicht .... !
> >
> > Es war jedenfalls die Funktion f mit f(x):=
> > [mm]\summe_{i=0}^{\infty}[(\bruch{3}{4})^n *\alpha(4^n*x)][/mm]
> > wobei [mm]\alpha(x):=[/mm] |x| für -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 und [mm]\alpha(x+2)[/mm] =
> > [mm]\alpha(x).[/mm]
> >
> > Viele Grüße
>
>
> ... es sind halt nicht alle Reihen, in denen irgend-
> welche Potenzen (hier noch multipliziert mit dem
> Term [mm]\alpha(4^n*x)[/mm] ) addiert werden, wirklich
> Potenzreihen.
> In einer Potenzreihe mit der Variablen x dürfen nur
> Glieder der Form [mm]a_k*x^k[/mm] mit [mm]k\in\IN_0[/mm] und [mm]a_k\in\IR[/mm]
> auftreten.
>
> Übrigens müsstest du in deiner Formel das i in n
> (oder umgekehrt) umbenennen.
>
Danke für den Hinweis, habs geändert.
Viele Grüße
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