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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Do 07.01.2010 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alles Punkte a [mm] \in \IR, [/mm] in denen die Funktion
[mm] f(x)=(exp(x)-1)\*|x|
[/mm]
differenzierbar ist. |
Hallo,
also diese Aufgabe hab ich mal wie folgt versucht zu lösen:
[mm] f(x)=\begin{cases} (exp(x)-1)\*(x), & \mbox{für } x \mbox{ > oder = 0} \\ (exp(x)-1)\*(-x), & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \end{cases} [/mm]
Auf [mm] \IR [/mm] \ {0} ist f diff'bar, da die Fkt aus einer Komposition diff'barer Fkten besteht und damit ebenfalls diff'bar ist.
Also h(x):=(exp(x)-1) besteht aus exp(x) was diff'bar ist und aus -1 was ebenfalls diff'bar ist. g(x):=|x| besteht aus [mm] g(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ > oder = 0} \\ -x, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \end{cases} [/mm] und x ist auch diff'bar.
Betrachtung des Nullpunktes:
Von links:
[mm] \limes_{x\rightarrow0-}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow0-}\bruch{(exp(x)-1)\*(-x)}{x}=\limes_{x\rightarrow0-}-(exp(x)-1)=0
[/mm]
Von rechts:
[mm] \limes_{x\rightarrow0+}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow0+}\bruch{(exp(x)-1)\*(x)}{x}=\limes_{x\rightarrow0-}(exp(x)-1)=0
[/mm]
Da diese beiden Grenzwerte gleich sind ist die Fkt auch in 0 diff'bar.
Also das wäre meine Lösung dazu. Ist sie richtig und wenn ja kann man es dann vielleicht noch besser aufschreiben oder ist sie totaler Käse?
Bin für Antworten dankbar.
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Do 07.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fawkes!
Bis auf zwei Winzigkeiten sieht das doch sehr gut und richtig aus.
> Betrachtung des Nullpunktes:
> Von links:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0-}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow0-}\bruch{(exp(x)-1)\*(-x)}{x}=\limes_{x\rightarrow0-}-(exp(x)-1)=0[/mm]
Schreibe beim 2. Bruch ruhig noch $...-0_$ für $-f(0)_$ hin.
> Von rechts:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0+}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow0+}\bruch{(exp(x)-1)\*(x)}{x}=\limes_{x\rightarrow0-}(exp(x)-1)=0[/mm]
Wie oben! Sowie gehört beim letzten Grenzwert unter das Limeszeichen ein [mm] $x\rightarrow 0\red{+}$ [/mm] .
> Da diese beiden Grenzwerte gleich sind ist die Fkt auch in 0 diff'bar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles 100% richtig
Gruss leduart
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