Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Do 07.01.2010 | | Autor: | snoopy89 |
| Aufgabe | | Die Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] sei differenzierbar und es gelte [mm] f(x)\not= [/mm] 0 für alle [mm] x\in\IR. [/mm] Zeigen Sie, dass |f| ebenfalls differenzierbar ist und geben Sie sowohl |f|' als auch [mm] (|f|^{\bruch{1}{n}})' [/mm] für [mm] n\in\IN [/mm] an. |
Also ich habe diese Aufgabe gelöst, aber bin mir nicht sicher, ob das so richtig ist. Wäre toll, wenn das mal jemand kontrollieren könnte.
z.z. |f| differenzierbar
1. Fall f>0:
|f|=f
|f|'=f'
2. Fall f<0:
|f|=-f
|f|'=-f'
Annahme: f(a)<0 und f(b)>0
Dann existiert laut Zwischenwertsatz ein [mm] x\in[a,b] [/mm] mit f(x)=0. Dies bildet einen Widerspruch zur Voraussetzung [mm] f(x)\not= [/mm] 0. Daraus folgt, dass f(x)<0 oder f(x)>0 ist.
Somit ist gezeigt, dass |f| differenzierbar.
[mm] |f|'=\begin{cases} f', & \mbox{für } f>0 \\ -f', & \mbox{für } f<0 \end{cases}
[/mm]
[mm] (|f|^{\bruch{1}{n}})'=\begin{cases} \bruch{1}{n}*f^{\bruch{1}{n}-1}, & \mbox{für } f>0 \\ -\bruch{1}{n}*f^{\bruch{1}{n}-1}, & \mbox{für } f<0 \end{cases}
[/mm]
Wäre super, wenn man mir Feedback geben könnte. Danke schonmal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig, ich würde nur statt für falls in die Def der 2 verschiedenen Ableitungen bringen. zum 2 ten teil erwähnen, dass es um die Komposition differenzierbarer fkt geht und man deshalb die kettenregel verwenden kann.
Gruss leduart
|
|
|
|
