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| Aufgabe | Untersuchen Sie, wo die Funktion
f: [mm] \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}: [/mm] (x,y) [mm] \mapsto |x|y^2
[/mm]
differenzierbar, bzw. partiell differenzierbar ist. Berechnen Sie an den entsprechenden Stellen die Ableitung, oder zeigen Sie dass diese nicht existiert. |
Hallo,
hört sich ja alles ganz einfach an...aber ich verstehe nicht wo diese Funktion nicht diffbar sein sollte. So hätte ich das jetzt gemacht:
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x}= y^2
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta y}= [/mm] |x|2y
Das ist jetzt garantiert falsch, aber ich verstehe nicht warum. Ist diese Funktion wegen des Betrages von x nicht überall diffbar?
Sonnige Grüße aus Berlin
congo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Sa 29.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
schreib Dir mal die Definition der partiellen Ableitung auf und betrachte die Fälle an der Stelle x=0, und zwar mal als Grenzwert von links gegen Null und als Grenzwert von rechts gegen Null. Also
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}
[/mm]
Du wirst dann für die partielle Ableitung von x ein etwas anderes Ergebnis bekommen als aufgeschrieben und an der Stelle x=0 die Frage beantworten können, ob f(x,y) überhaupt dort partiell differenzierbar ist.
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Danke für Deine Antwort.
Also habe ich ja dann:
[mm] \lim_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}
[/mm]
= [mm] \lim_{h\rightarrow 0}\bruch{|x+h|y^2-|x|y^2}{h}
[/mm]
= [mm] \lim_{h\rightarrow 0}y^2\bruch{|x+h|-|x|}{h}
[/mm]
Aber wie gehts nun weiter? Ich darf ja das h nicht einfach aus dem Betrag rausnehmen....oder kann ich das h im Zähler weglassen, da es ohnehin gegen 0 läuft? Nee oder?
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Hiho,
> Aber wie gehts nun weiter? Ich darf ja das h nicht einfach
> aus dem Betrag rausnehmen....oder kann ich das h im Zähler
> weglassen, da es ohnehin gegen 0 läuft? Nee oder?
nein. Da die Betragsfunktion an der Stelle $x [mm] \not= [/mm] 0$ ja schön differenzierbar ist, interessiert uns hier ja eh nur $x=0$.
Setz $x=0$ und betrachte dir den Grenzwert dann mal für $h < 0$ und dann für $h>0$.
MFG,
Gono.
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Ach ja....stimmt.
Wäre das jetzt eine Lösung für diese Aufgabe?:
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[mm] \lim_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h,y)-f(x, y)}{h}
[/mm]
Betrachte Fall für x=0:
[mm] \lim_{h\rightarrow 0}\bruch{|0+h|y^2-|0|y^2}{h}
[/mm]
[mm] \lim_{h\rightarrow 0}y^2\bruch{|h|}{h}
[/mm]
für h<0:
[mm] \lim_{h\rightarrow 0}y^2\bruch{|h|}{h}=-y^2
[/mm]
für h>0:
[mm] \lim_{h\rightarrow 0}y^2\bruch{|h|}{h}=y^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] für x=0 ist f(x,y) nicht partiell differenzierbar.
Für x [mm] \not= [/mm] 0 ist f(x,y) partiell diff'bar und hat die partiellen Ableitungen:
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x}= y^2
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta y}= [/mm] 2|x|y
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Müsste ich letzteres noch irgendwie zeigen, oder reicht das so?
Gruß
congo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Sa 29.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
>
> Für x [mm]\not=[/mm] 0 ist f(x,y) partiell diff'bar und hat die
> partiellen Ableitungen:
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}= y^2[/mm]
>
Mach hier mal die gleiche Betrachtung wie bei x=0. Betrachte x<0 und x>0 separat und beachte, dass wenn x<0 auch x+h<0 gilt, wenn h klein genug ist und beachte die Definition des Betrages.
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Ok, also folgende Fälle habe ich jetzt betrachtet:
für x<0, h<0:
[mm] \lim_{h\rightarrow 0}y^2\bruch{|x+h|-|x|}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\rightarrow 0}y^2\bruch{-(x+h)-(-x)}{h}=-y^2
[/mm]
für x<0, h>0:
[mm] \lim_{h\rightarrow 0}y^2\bruch{|x+h|-|x|}{h} \Rightarrow [/mm] für h klein genug = [mm] \lim_{h\rightarrow 0}y^2\bruch{-(x+h)-(-x)}{h}= -y^2
[/mm]
für x>0, h<0:
[mm] \lim_{h\rightarrow 0}y^2\bruch{|x+h|-|x|}{h} \Rightarrow [/mm] für h klein genug = [mm] \lim_{h\rightarrow 0}y^2\bruch{x+h-x}{h}= y^2
[/mm]
für x>0, h>0:
[mm] \lim_{h\rightarrow 0}y^2\bruch{|x+h|-|x|}{h}= \lim_{h\rightarrow 0}y^2\bruch{x+h-x}{h}=y^2
[/mm]
Und daraus würde ja dann folgen, dass f(x,y) für [mm] -\infty
Gruß
congo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Sa 29.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Und daraus würde ja dann folgen, dass f(x,y) für
> [mm]-\infty
bis auf x=0.
Die Fälle h>0 und h<0 kannst Du jeweils zusammenfassen, da h auf jeden Fall im Grenzübergang so klein wird, das bei x<0 auch x+h<0 gilt, egal ob h<0 oder h>0 gilt. Das gleiche gilt für x>0.
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