Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Di 18.01.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Wo ist diese Funktion differenzierbar?
f(x)= [mm] \bruch{cos x}{1+x²} [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich würde gerne Schritt für Schritt einmal anhand dieser Funktion durchgehen, wie man Differenzierbarkeit bestimmt, da ich das in der Schule nie so genau hatte.
Meine Frage nun:
Ich weiß, dass der Differenzialquotient und der links- und rechtsseitige Grenzwert beim Lösen hier eine Rolle spielen.
Was genau ich zu tun habe weiß ich jedoch nicht.
Könnte mir jemand sagen, wie ich anfange? Und was in weiteren Schritten zu tun wäre?
Quasi einmal ein Durchgang für Blöde :D
Vielen Dank im Voraus, viele Grüße, Paula!
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> Wo ist diese Funktion differenzierbar?
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> f(x)= [mm]\bruch{cos x}{1+x^2}[/mm]
> Hallo,
> Ich würde gerne Schritt für Schritt einmal anhand dieser
> Funktion durchgehen, wie man Differenzierbarkeit bestimmt,
> da ich das in der Schule nie so genau hatte.
>
> Meine Frage nun:
> Ich weiß, dass der Differenzialquotient und der links-
> und rechtsseitige Grenzwert beim Lösen hier eine Rolle
> spielen.
> Was genau ich zu tun habe weiß ich jedoch nicht.
> Könnte mir jemand sagen, wie ich anfange? Und was in
> weiteren Schritten zu tun wäre?
> Quasi einmal ein Durchgang für Blöde :D
>
> Vielen Dank im Voraus, viele Grüße, Paula!
Guten Abend Paula,
hier muss man sich nicht mit Grenzwerten im Detail
auseinandersetzen, wenn man ein paar generelle
Eigenschaften von Stetigkeit und Differenzierbarkeit
kennt.
Betrachte zunächst die Zählerfunktion [mm] x\mapsto{cos(x)} [/mm] und
die Nennerfunktion [mm] x\mapsto{1+x^2} [/mm] separat und notiere dir
ihre Eigenschaften bezüglich Definitionsbereich, Stetigkeit,
Differenzierbarkeit, Ableitungen.
Und dann dasselbe für die Quotientenfunktion f(x) . Benütze
dazu die entsprechenden Sätze.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Di 18.01.2011 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich habe den Zähler und den Nenner nun jewels als einzelne Funktion betrachtet.
1) x [mm] \mapsto [/mm] cos(x)
Definitionsbereich: definiert für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
Stetigkeit: die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich stetig
Differenzierbarkeit: die Funktion ist an allen Stellen differenzierbar
Ableitung: f'(x)=-sin(x)
2) x [mm] \mapsto [/mm] 1+x²
Definitionsbereich: definiert für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
Stetigkeit: die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich stetig
Differenzierbarkeit: die Funktion ist an allen Stellen differenzierbar, da die Funktion eine einfache Parable ist
Ableitung: f'(x)=2x
Soweit so gut, aber wie gehe ich jetzt vor?
Vielen Dank schonmal, Paula.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Di 18.01.2011 | | Autor: | abakus |
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> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
> Ich habe den Zähler und den Nenner nun jewels als
> einzelne Funktion betrachtet.
>
> 1) x [mm]\mapsto[/mm] cos(x)
>
> Definitionsbereich: definiert für alle x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Stetigkeit: die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich
> stetig
> Differenzierbarkeit: die Funktion ist an allen Stellen
> differenzierbar
> Ableitung: f'(x)=-sin(x)
>
> 2) x [mm]\mapsto[/mm] 1+x²
>
> Definitionsbereich: definiert für alle x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Stetigkeit: die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich
> stetig
> Differenzierbarkeit: die Funktion ist an allen Stellen
> differenzierbar, da die Funktion eine einfache Parable ist
> Ableitung: f'(x)=2x
>
> Soweit so gut, aber wie gehe ich jetzt vor?
>
> Vielen Dank schonmal, Paula.
Hallo, wenn sowohl Zähler als auch Nenner differenzierbar sind, ist auch -mit einer klitzekleinen Ausnahme - der Quotient aus Zähler und Nenner differnezierber.
Worin besteht die klitzekleine Ausnahme???
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Di 18.01.2011 | | Autor: | paula_88 |
Normalerweise würde ich sagen, dass die Ausnahme die Definitionslücke ist, da es ja im Endeffekt ein Bruch ist.
Nun kann ner Nenner ja aber nicht 0 werden, somit gibts auch keine Definitionslücke, oder?
Was ist dann die Ausnahme?
Tipp?
:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Di 18.01.2011 | | Autor: | abakus |
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> Normalerweise würde ich sagen, dass die Ausnahme die
> Definitionslücke ist, da es ja im Endeffekt ein Bruch
> ist.
> Nun kann ner Nenner ja aber nicht 0 werden, somit gibts
> auch keine Definitionslücke, oder?
>
> Was ist dann die Ausnahme?
> Tipp?
Wenn der Nenner nicht Null werden kann, gibt es keine Ausnahme.
Gruß Abakus
>
> :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Di 18.01.2011 | | Autor: | paula_88 |
Aber was war dann die klitzekleine Ausnahme, die du meintest?
Habe ich eine Definitionslücke übersehen?
Und wie kann ich das jetzt formal ausdrücken, dass die Funktion überall differenzierbar ist, ist sie dann doch!??
Viele Grüße.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Di 18.01.2011 | | Autor: | abakus |
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> Aber was war dann die klitzekleine Ausnahme, die du
> meintest?
Du hast nichts übersehen! Ich wollte deine bis dahin noch nicht ganz vollständigen Überlegungen nur darauf lenken, dass du den noch einzig möglichen Unstetigkeitsfall ebenfalls begründet ausschließen kannst.
> Habe ich eine Definitionslücke übersehen?
> Und wie kann ich das jetzt formal ausdrücken, dass die
> Funktion überall differenzierbar ist, ist sie dann
> doch!??
> Viele Grüße.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Di 18.01.2011 | | Autor: | paula_88 |
Achso ok, wunderbar danke.
Dann habe ich die Theorie bzgl. dieser Aufgabe ja bestanden.
Gibt es aber jetzt eine Möglichkeit das formal auszudrücken um als Aufgabe abzugeben? Bis jetzt könnte ich das nur in schriftlicher Form erklären, was jedoch nicht vollkommen mathematisch wäre :)
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> Achso ok, wunderbar danke.
> Dann habe ich die Theorie bzgl. dieser Aufgabe ja
> bestanden.
> Gibt es aber jetzt eine Möglichkeit das formal
> auszudrücken um als Aufgabe abzugeben? Bis jetzt könnte
> ich das nur in schriftlicher Form erklären, was jedoch
> nicht vollkommen mathematisch wäre :)
Hallo paula_88,
bitte vergiss den Unsinn, dass mathematische Gedanken-
gänge, die in schriftlicher Form und z.B. in ganzen und
wenn immer möglich auch noch grammatikalisch korrekten
Sätzen klar ausgedrückt sind, "noch nicht vollkommen
mathematisch" seien.
Die wirkliche Mathematik steckt nämlich nicht in den
eventuell (und sehr oft) auch benützten Formeln und
mathematischen Symbolen, sondern in den logisch ein-
wandfreien und klar formulierten mathematischen Ideen.
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Mi 19.01.2011 | | Autor: | paula_88 |
Ok alles klar, dankeschön!
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