Differenzierbarkeit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hey Leute,
ich habe mal eine Frage, ich komme da einfach nich drauf. "Eine Differenzierbare Fkt muss stetig und ???" welche anforderung wird an eine diff'bare FKt gestellt? da gibt es doch zwei Sachen. Und die eine fällt mir einfach nicht ein.
beste grüße
kano
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Hallo kano,
wenn außerdem an jeder Stelle x im Definitionsbereich eine eindeutige Tangente an den Funktionsgraphen existiert, also der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten [mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] gleich sind, dann ist f(x) differenzierbar (und sogar stetig differenzierbar). (editiert)
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Di 19.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo kano,
>
> wenn außerdem an jeder Stelle x im Definitionsbereich eine
> eindeutige Tangente an den Funktionsgraphen existiert, also
> der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert des
> Differenzenquotienten [mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm] gleich sind,
> dann ist f(x) differenzierbar
> (und sogar stetig differenzierbar).
Hallo rev,
mit "stetig differenzierbar" bin ich nicht einverstanden, "stetig differenzierbar" bedeutet: differenzierbar und stetige Ableitung.
FRED
>
> Grüße
> reverend
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Di 19.04.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> mit "stetig differenzierbar" bin ich nicht einverstanden,
> "stetig differenzierbar" bedeutet: differenzierbar und
> stetige Ableitung.
Ähem. Natürlich.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:15 Di 19.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo kano,
>
> wenn außerdem an jeder Stelle x im Definitionsbereich eine
> eindeutige Tangente an den Funktionsgraphen existiert, also
> der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert des
> Differenzenquotienten [mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm] gleich sind,
> dann ist f(x) differenzierbar (und sogar stetig
> differenzierbar).
das rotmarkierte stimmt offenbar nicht, wie die Funktion
$$f(x) = [mm] \begin{cases} x^2 \cos \left( \frac{1}{x} \right), & x\ne 0\\ 0, & x=0 \end{cases}$$
[/mm]
mit Ableitung
$$f'(x) = [mm] \begin{cases} 2x\cos \left(\frac{1}{x} \right) + \sin \left(\frac{1}{x} \right) ,& x\ne 0\\ 0, & x=0 \end{cases}$$ [/mm]
belegt.
Hier gilt etwa [mm] $f'(0)=0\,$ [/mm] wegen [mm] $\left|\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\right| \le |h^2/h|=|h|\,,$
[/mm]
so dass [mm] $\,f$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] (links- und rechtsseitig) differenzierbar ist, aber die (an jeder reellen Stelle definierte) Ableitungsfunktion ist an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] unstetig.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Di 19.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hey Leute,
>
> ich habe mal eine Frage, ich komme da einfach nich drauf.
> "Eine Differenzierbare Fkt muss stetig und ???" welche
> anforderung wird an eine diff'bare FKt gestellt? da gibt es
> doch zwei Sachen. Und die eine fällt mir einfach nicht
> ein.
f heißt differenzierbar in [mm] x_0 [/mm] , wenn der Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
existiert.In diesem Fall folgt:
[mm] $f(x)-f(x_0)= \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}*(x-x_0) \to [/mm] 0$ für x [mm] \to x_0.
[/mm]
Damit ist f stetig in [mm] x_0.
[/mm]
FRED
>
> beste grüße
> kano
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