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| Aufgabe | Für beliebige reelle Zahlen [mm] \alpha [/mm] , x [mm] \in \IR [/mm] mit x > 0 definieren wir [mm] x^\alpha [/mm] := [mm] e^{\alpha lnx} [/mm] ,
wobei ln: [mm] (0,\infty) \to \IR [/mm] (Log. Naturalis) die Umkehrfkt der e-FKT ist:
[mm] e^{lnx} [/mm] = x, [mm] lne^{x} [/mm] = x
Aufgabe:
Zeigen Sie für jedes [mm] \alpha \in \IR: [/mm] Die FKT f: [mm] \IR^{*}_{+} [/mm] = [mm] (0,\infty) \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] x^{\alpha} [/mm] ist diff´bar mit Ableitung [mm] f^{´}(x) [/mm] = [mm] \alpha x^{\alpha-1} [/mm] . Benutzen Sie die Kettenregel sowie die Ableitung des Logarithmus, [mm] ln^{´}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}. [/mm] |
[mm] \bruch{d}{dx}(f(x)) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx}(x^{\alpha}) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx}(e^{\alpha lnx}) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx}(e^\underbrace{{lnx + lnx + ... + lnx}_{=\alpha -mal}} [/mm] ) = [mm] \underbrace{e^{lnx} * e^{lnx} * .... * e^{lnx}}_{= \alpha - mal} [/mm] = ?
Hier habe ich einen Hänger. Jetzt müsste ich mit der Kettenregel ableiten. Aber wie? Mir sind bislang noch keine größeren Produkte als [mm] x^{2} [/mm] untergekommen....
Kann mir das mal einer sagen?
Vielen Dank.
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Ich habe eben mal [mm] x^{4} [/mm] differenziert mit Kettenregel.
[mm] x^{4} [/mm] = x*x*x*x [mm] =x^{2} [/mm] * [mm] x^{2} [/mm] = [mm] (x*x)^{2}
[/mm]
davon die Ableitung ist
2(x*x)(x+x) =.....= 4 [mm] x^{3} [/mm] , was passt.
Aber wie mache ich das wenn ich es [mm] \alpha [/mm] - mal mache. Ich weiß ja nicht ob nun [mm] \alpha [/mm] eine gerade Zahl ist oder nicht....
?
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Dein [mm] $\alpha$ [/mm] ist nicht nur nicht gerade, dein [mm] $\alpha$ [/mm] muss nichtmal eine natürliche Zahl sein.
Wie genau lautet denn die Kettenregel (in Worten)?
Was ist die Ableitung einer "normalen" e-Funktion [mm] $e^x$ [/mm] ?
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1) Ableitung der äußeren FKT mal Ableitung der inneren FKT.
2) [mm] e^{x} [/mm] * (x)´
Das mit den nicht natürlichen Zahlen ist mir klar....sogar, dass ich [mm] \alpha [/mm] als Re(z) aus [mm] \IC [/mm] auffassen könnte....
ich steh´ trotzdem noch auf dem Schlauch.
Wenn ich [mm] e^{x} [/mm] * [mm] e^{x} [/mm] habe, dann ist das auch kein Thema....aber was wenn ich noch eine dritte, vierte.....n-te e-FKT habe...? Wie ordne ich jetzt meine Kettenglieder an bzw ich hab ja auch noch eine Produktregel zu beachten, nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für beliebige reelle Zahlen [mm]\alpha[/mm] , x [mm]\in \IR[/mm] mit x > 0
> definieren wir [mm]x^\alpha[/mm] := [mm]e^{\alpha lnx}[/mm] ,
> wobei ln: [mm](0,\infty) \to \IR[/mm] (Log. Naturalis) die Umkehrfkt
> der e-FKT ist:
> [mm]e^{lnx}[/mm] = x, [mm]lne^{x}[/mm] = x
>
> Aufgabe:
> Zeigen Sie für jedes [mm]\alpha \in \IR:[/mm] Die FKT f:
> [mm]\IR^{*}_{+}[/mm] = [mm](0,\infty) \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^{\alpha}[/mm] ist
> diff´bar mit Ableitung [mm]f\;'(x)[/mm] = [mm]\alpha x^{\alpha-1}[/mm] .
> Benutzen Sie die Kettenregel sowie die Ableitung des
> Logarithmus, [mm]ln^{´}(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}.[/mm]
> [mm]\bruch{d}{dx}(f(x))[/mm] = [mm]\bruch{d}{dx}(x^{\alpha})[/mm] =
> [mm]\bruch{d}{dx}(e^{\alpha lnx})[/mm] =
> [mm]\bruch{d}{dx}(e^\underbrace{{lnx + lnx + ... + lnx}_{=\alpha -mal}}[/mm]
> ) = [mm]\underbrace{e^{lnx} * e^{lnx} * .... * e^{lnx}}_{= \alpha - mal}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> = ?
>
> Hier habe ich einen Hänger.
kein Wunder: So müßtest Du (mehrfach) die Produktregel anwenden; und es geht so erstmal nicht für alle $\alpha \in \IR\,,$ sondern man müßte es dann "nach und nach hochziehen" (von natürlichen Zahlen auf ganze auf rationale etc.); wobei ich das nicht weiter durchdacht habe.
Du kannst es so angehen: Setze $v(x):=\alpha*\ln(x)$ und $u(v):=e^v\,.$ Dann gilt $\frac{d}{dx}v(x)=v\,'(x)=\alpha/x\,$ und $\frac{d}{dv}u(v)=u'(v)=e^v\,.$
Nach der Kettenregel (beachte: Für alle $x\,$ ist $e^{\alpha \ln(x)}=u(v(x))=(u \circ v)(x)$) gilt ja
$$\frac{d}{dx}u(v(x))=\left.\frac{d}{dv}u(v)\right|_{v=v(x)}*\frac{d}{dx}v(x)=u'(v(x))*v\,'(x)\,.$$
Mit $u'(v)=e^v$ ist neben $v\,'(x)=\alpha/x$ nur noch $u'(v(x))=e^{v(x)}=e^{\alpha*\ln(x)}$ dort einzusetzen. Danach mußt Du noch ein wenig umformen unter Beachtung von
1.) $e^{\alpha \ln(x)}=(e^{\ln x})^\alpha=x^{\alpha}$
und
2.) $x^\alpha/x=x^\alpha/x^1=x^{\alpha-1}\,.$
Gruß,
Marcel
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Hi,
so hätte ich auch noch argumentieren können. Und so macht´s auch Sinn. Was mir Kopfzerbrechen macht ist, dass mein Tutor tatsächlich die Zeile
" [mm] \underbrace{e^{lnx} \cdot{} e^{lnx} \cdot{} .... \cdot{} e^{lnx}}_{= \alpha - mal} [/mm] und jetzt die Kettenregel"
hingeschrieben hat...
Ich persönlich finde deine Variante auch wesentlich ansprechender....Substituieren macht das wesentlich einfacher.
Vielen herzlichen Dank.
Semi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
> so hätte ich auch noch argumentieren können. Und so
> macht´s auch Sinn. Was mir Kopfzerbrechen macht ist, dass
> mein Tutor tatsächlich die Zeile
>
> " [mm]\underbrace{e^{lnx} \cdot{} e^{lnx} \cdot{} .... \cdot{} e^{lnx}}_{= \alpha - mal}[/mm]
> und jetzt die Kettenregel"
>
> hingeschrieben hat...
> Ich persönlich finde deine Variante auch wesentlich
> ansprechender....Substituieren macht das wesentlich
> einfacher.
dann hat Dein Tutor eigentlich Unsinn verzapft. In dieser Variante (die man so nur für nichtnegative ganze Zahlen machen sollte) geht's mit der Produktregel weiter. Man kann das so erstmal machen, wenn man die Richtigkeit für, wie gesagt, nichtnegative ganze Zahlen der Formel prüfen will.
Wenn man die Kettenregel benutzen will - und eigentlich sehe ich da sonst auch keinen eleganteren Weg, weil da [mm] $\alpha \in \IR$ [/mm] und nicht nur [mm] $\alpha \in \IN$ [/mm] oder [mm] $\alpha \in \IN_0$ [/mm] steht - geht's nur, wenn man eine Verkettung von Funktionen benutzt; das ist eigentlich nicht wirklich eine Substitution, sondern man sieht halt, dass die betrachtete Funktion als Nacheinanderausführung zweier Funktionen, "mit denen man umgehen kann", schreiben kann. (Letzteres meint hier, dass man deren Ableitung kennt; denn diese braucht man ja in der Kettenregel bzgl. Ableitung.)
Aber wichtig ist erstmal, dass Du diesen Weg nun verstanden hast. 
Viele Grüße,
Marcel
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Mh, ja. Ich weiß was du meinst bzgl der Substitution. Ist nicht so wie bei einer Integration von z. [mm] B.....sin(x^{2})... [/mm] Substitution eher um "einen Überblick" zu wahren und die Aufmerksamkeit auf die äußere- bzw innere FKT zu und die Ableitungsregel zu lenken.
Super, danke. Dann werde ich da noch ein bischen d´ran rumspielen und mich mal auf Samstag freuen ;)
Viele Grüße
Semi
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