Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Fr 06.07.2012 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | | Ist die Funktion f(x,y)= [mm] \bruch{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}} [/mm] für [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] und f(x,y)=0 für (x,y)=(0,0) im Punkt [mm] (x_{0},y_{0})=(0,0) [/mm] differenzierbar? |
Hallo an alle,
ich habe nur ein paar kleine Fragen bezüglich Differenzierbarkeit, um zu wissen dass ich richtig liege 
Ich habe immernoch ein wenig Verständnisprobleme, worin genau der Unterschied liegt zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen existieren und dass die Funktion differenzierbar ist:
Die Differenzierbarkeit zeige ich anhand des Differentialquotienten:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0+h,0+h)-f(0,0))}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h^{4}}{h^{3}+h^{3}}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h}{2}=0
[/mm]
Da der Grenzwert existiert ist die Funktion an der Stelle [mm] (x_{0},y_{0})=(0,0) [/mm] differenzierbar.
Ist das so richtig gezeigt?
Differenzierbarkeit in einem Punkt impliziert doch dass in diesem Punkt alle Richtungsableitungen in diesem Punkt existieren und somit auch alle partiellen Ableitungen, oder?
Aber wenn ich theoretisch nochmal zeigen möchte dass beide ersten partiellen Ableitungen existieren, zeige ich dann einfach anhand des Differentielquotienten, einmal dass [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0+h,0)-f(0,0))}{h}=\bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] und [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0,0+h)-f(0,0))}{h}=\bruch{\delta f}{\delta y} [/mm] existieren und habe es somit gezeigt?
Ich hoffe dass mein Problem verständlich geworden ist 
Vielen Dank im Voraus, Paula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Fr 06.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ist die Funktion f(x,y)= [mm]\bruch{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}[/mm] für
> [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] und f(x,y)=0 für (x,y)=(0,0) im Punkt
> [mm](x_{0},y_{0})=(0,0)[/mm] differenzierbar?
> Hallo an alle,
> ich habe nur ein paar kleine Fragen bezüglich
> Differenzierbarkeit, um zu wissen dass ich richtig liege
>
>
> Ich habe immernoch ein wenig Verständnisprobleme, worin
> genau der Unterschied liegt zu zeigen, dass die partiellen
> Ableitungen existieren und dass die Funktion
> differenzierbar ist:
>
> Die Differenzierbarkeit zeige ich anhand des
> Differentialquotienten:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0+h,0+h)-f(0,0))}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h^{4}}{h^{3}+h^{3}}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h}{2}=0[/mm]
>
> Da der Grenzwert existiert ist die Funktion an der Stelle
> [mm](x_{0},y_{0})=(0,0)[/mm] differenzierbar.
> Ist das so richtig gezeigt?
Nein.
Zeige: f ist in (0,0) partiell nach x und nach y differenzierbar und berechne dann grad f(0,0).
f ist in (0,0) genau dann differenzierbar, wenn
[mm] \limes_{(h,k) \rightarrow (0,0)}\bruch{f(h,k)-f(0,0)-(h,k)*gradf(0,0)}{||(h,k)||}=0
[/mm]
FRED
>
> Differenzierbarkeit in einem Punkt impliziert doch dass in
> diesem Punkt alle Richtungsableitungen in diesem Punkt
> existieren und somit auch alle partiellen Ableitungen,
> oder?
>
> Aber wenn ich theoretisch nochmal zeigen möchte dass beide
> ersten partiellen Ableitungen existieren, zeige ich dann
> einfach anhand des Differentielquotienten, einmal dass
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0+h,0)-f(0,0))}{h}=\bruch{\delta f}{\delta x}[/mm]
> und [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0,0+h)-f(0,0))}{h}=\bruch{\delta f}{\delta y}[/mm]
> existieren und habe es somit gezeigt?
>
> Ich hoffe dass mein Problem verständlich geworden ist
> Vielen Dank im Voraus, Paula
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 So 08.07.2012 | | Autor: | paula_88 |
Hallo an alle,
das heißt, wenn ich Differenzierbarkeit zeigen will, berechne ich:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0+h,0+h)-f(0,0)-Ah}{h} [/mm] mit A als Gradient.
[mm] \Delta f(x,y)=\vektor{\bruch{x^{2}+3y}{x^{4}y} \\ \bruch{x^{2}-y^{2}}{x^{3}y^{2}}} \Rightarrow \Delta f(0,0)=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Da der Gradient 0 ist, folgt wiederum dass [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0+h,0+h)-f(0,0)-Ah}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h^{4}}{h^{3}+h^{3}}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h}{2}=0 [/mm]
Und somit ist die Funktion differenzierbar.
Ist das so richtig gezeigt?
Differenzierbarkeit in einem Punkt impliziert doch dass in
diesem Punkt alle Richtungsableitungen in diesem Punkt
existieren und somit auch alle partiellen Ableitungen,
oder?
Aber wenn ich theoretisch nochmal zeigen möchte dass beide
ersten partiellen Ableitungen existieren, zeige ich dann
einfach anhand des Differentielquotienten, einmal dass
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0+h,0)-f(0,0))}{h}=\bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] $
und $ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0,0+h)-f(0,0))}{h}=\bruch{\delta f}{\delta y} [/mm] $
existieren und habe es somit gezeigt?
Vielen Dank schonmal
Liebe Grüße, Paula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 So 08.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo an alle,
> das heißt, wenn ich Differenzierbarkeit zeigen will,
> berechne ich:
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0+h,0+h)-f(0,0)-Ah}{h}[/mm]
> mit A als Gradient.
Nein. Was habe ich geschrieben: f ist differenzierbar in(0,0) [mm] \gdw
[/mm]
$ [mm] \limes_{(h,k) \rightarrow (0,0)}\bruch{f(h,k)-f(0,0)-(h,k)\cdot{}gradf(0,0)}{||(h,k)||}=0 [/mm] $
>
> [mm]\Delta f(x,y)=\vektor{\bruch{x^{2}+3y}{x^{4}y} \\ \bruch{x^{2}-y^{2}}{x^{3}y^{2}}} \Rightarrow \Delta f(0,0)=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> Da der Gradient 0 ist, folgt wiederum dass
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0+h,0+h)-f(0,0)-Ah}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h^{4}}{h^{3}+h^{3}}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h}{2}=0[/mm]
>
> Und somit ist die Funktion differenzierbar.
> Ist das so richtig gezeigt?
Nein. s.o.
>
>
>
> Differenzierbarkeit in einem Punkt impliziert doch dass in
> diesem Punkt alle Richtungsableitungen in diesem Punkt
> existieren und somit auch alle partiellen Ableitungen,
> oder?
Ja
> Aber wenn ich theoretisch nochmal zeigen möchte dass
> beide
> ersten partiellen Ableitungen existieren, zeige ich dann
> einfach anhand des Differentielquotienten, einmal dass
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0+h,0)-f(0,0))}{h}=\bruch{\delta f}{\delta x}[/mm]
>
> und [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0,0+h)-f(0,0))}{h}=\bruch{\delta f}{\delta y}[/mm]
Ja
FRED
>
> existieren und habe es somit gezeigt?
>
> Vielen Dank schonmal
> Liebe Grüße, Paula
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