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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:51 Fr 31.05.2013 | | Autor: | Ice-Man |
Hallo,
ich habe nur mal bitte eine kurze Frage.
Warum ist die Funktion
[mm] f=\bruch{2x^{2}-8x}{x^{2}} [/mm] nicht differenzierbar?
Wenn ich den Grenzwert gegen -0 und +0 laufen lasse, dann erhalte ich jeweils -unendlich.
Und ist es nicht so, das wenn ich jeweils den gleichen Grenzwert erhalte ich die Funktion als differenzierbar betrachten kann?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Ice-Man!
> Hallo,
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> ich habe nur mal bitte eine kurze Frage.
>
> Warum ist die Funktion
>
> [mm]f=\bruch{2x^{2}-8x}{x^{2}}[/mm] nicht differenzierbar?
Warum sollte diese Funktion nicht differenzierbar sein? Die einzige fragliche Stelle ist doch [mm]x=0[/mm], aber da ist [mm]f[/mm] ja gar nicht definiert.
> Wenn ich den Grenzwert gegen -0 und +0 laufen lasse, dann
> erhalte ich jeweils -unendlich.
Ich erhalte [mm]\lim_{x\to \pm0}f(x)=\mp\infty[/mm] (siehe auch ![[]](/images/popup.gif) wolframalpha).
> Und ist es nicht so, das wenn ich jeweils den gleichen
> Grenzwert erhalte ich die Funktion als differenzierbar
> betrachten kann?
Nein, selbst wenn hier die Grenzwerte gleich wären, muss die Funktion an der entsprechenden Stelle nicht differenzierbar sein. (Du verwechselst das glaube ich mit "Stetigkeit".) Betrachte z.B. [mm]f(x)=|x|[/mm] an der Stelle [mm]x=0[/mm].
Je nach Definition von Differenzierbarkeit musst du den entsprechenden Grenzwert untersuchen. Eine Variante ist [mm]\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm].
Bei deiner Funktion ergibt das [mm]\lim_{x\to x_0}\frac{8}{xx_0}=\frac{8}{x_0^2}[/mm] und dieser Grenzwert existiert für alle [mm] $x_0$ [/mm] im Definitionsbereich, also ist [mm]f[/mm] differenzierbar.
Lieben Gruß,
Fulla
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