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| Aufgabe | Sei f : R → R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit f(0) = 0 und f′(0) = 0.
Zeigen Sie, dass es ein C ∈ R gibt mit
|f(x)| ≤ [mm] Cx^{2} [/mm] für jedes x ∈ [−1, 1] . |
Hallo,
habe mich an dieser aufgabe ausgetobt und würde gerne noch ein feedback haben ob die aufgabe so richtig ist oder ob evtl. verbesserungen angebracht sind.
über ein feedback wäre ich sehr dankbar
meine lösung:
durch zweimalige anwendung des mittelwertsatzes:
f(x) - f(0) = f'(u) (x-0) (-|x| < u < |x|)
f'(u) - f'(0) = f''(v) (u-0)(x-0) (-|u| < v < |u|)
wegen f(0) =0 und f'(0) =0
|f(x)| = |f''(v) u x|
sei x [mm] \in [/mm] (-1,1)
|f(x)| = |f''(v) u x| [mm] \le [/mm] |f''(v) |u| |x|
[mm] \le C|x|^{2} [/mm] = [mm] Cx^{2}
[/mm]
mit C = max f'' (t) t [mm] \in [/mm] (1,-1)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Di 27.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei f : R → R eine zweimal stetig differenzierbare
> Funktion mit f(0) = 0 und f′(0) = 0.
> Zeigen Sie, dass es ein C ∈ R gibt mit
> |f(x)| ≤ [mm]Cx^{2}[/mm] für jedes x ∈ [−1, 1] .
> Hallo,
>
> habe mich an dieser aufgabe ausgetobt und würde gerne noch
> ein feedback haben ob die aufgabe so richtig ist oder ob
> evtl. verbesserungen angebracht sind.
> über ein feedback wäre ich sehr dankbar
>
> meine lösung:
>
> durch zweimalige anwendung des mittelwertsatzes:
>
> f(x) - f(0) = f'(u) (x-0) (-|x| < u <
> |x|)
>
> f'(u) - f'(0) = f''(v) (u-0)(x-0) (-|u| < v <
> |u|)
???????????????
>
> wegen f(0) =0 und f'(0) =0
>
> |f(x)| = |f''(v) u x|
>
> sei x [mm]\in[/mm] (-1,1)
>
> |f(x)| = |f''(v) u x| [mm]\le[/mm] |f''(v) |u| |x|
> [mm]\le C|x|^{2}[/mm] = [mm]Cx^{2}[/mm]
> mit C = max f'' (t) t [mm]\in[/mm] (1,-1)
C = max |f'' (t)| !! Die letzten 3 Zeilen sind etwas undurchsichtig !
Ich würde den Satz von Taylor benutzen
Zunächst gibt es ein c [mm] \ge [/mm] 0: |f''(x)| [mm] \le [/mm] c für x [mm] \in [/mm] [-1,1]
Sei x [mm] \in [/mm] [-1,1]
Nach Taylor: f(x) = f(0) +f'(0)x [mm] +\bruch{f''(u)}{2}x^2 [/mm] , wobei u zwischen 0 und x
Also |f(x)| = [mm] |\bruch{f''(u)}{2}|x^2 \le \bruch{c}{2}x^2
[/mm]
Setze C = [mm] \bruch{c}{2}
[/mm]
FRED
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