Differenzierbarkeit auf R^2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion heisst:
[mm]f(z_{1},z_{2})=\frac{1}{z_{1}}+\frac{z_{2}}{z_{1}}[/mm]
Diese Funktion soll auf differenzierbare Fortsetzbarkeit für [mm]z_1 \ne 0 [/mm] geprüft werden. |
Eine mehrdimensionale Funktion ist differenzierbar, wenn die partiellen Ableitungen existieren und zudem die 1. partiellen Ableitungen stetig sind.
Ich bilde also die 1. partiellen Ableitungen:
[mm] grad(f(z_{1},z_{2}))=(-\frac{(1+z_{2})}{(z_{1})^2},\frac{1}{z_{1}})[/mm]
Für [mm]u(z_{1},z_{2})=\frac{1}{z_{1}}[/mm] ist klar, das sie stetig ist für [mm]z_{1} \ne 0[/mm].
Für [mm]v(z_{1},z_{2})=-\frac{(1+z_{2})}{(z_{1})^2}[/mm] und für [mm]z_{1} \ne 0[/mm] ist die Funktion meiner Meinung nach aber auch stetig.
Laut Lösung kann man die Funktion jedoch nicht differenzierbar auf [mm]\IR^{2}[/mm] fortsetzen
Wo ist da mein Fehler?
Danke, VG Matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Di 24.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Die Funktion heisst:
> [mm]f(z^{1},z^{2})=\frac{1}{z^{1}}+\frac{z^{2}}{z^{1}}[/mm]
> Diese Funktion soll auf differenzierbare Fortsetzbarkeit
> für [mm]z^1 \ne 0[/mm] geprüft werden.
> Eine mehrdimensionale Funktion ist differenzierbar, wenn
> die partiellen Ableitungen existieren und zudem die 1.
> partiellen Ableitungen stetig sind.
>
> Ich bilde also die 1. partiellen Ableitungen:
>
> [mm]grad(f(z^{1},z^{2}))=(-\frac{(1+z^{2})}{(z^{1})^2},\frac{1}{z^{1}})[/mm]
> Für [mm]u(z^{1},z^{2})=\frac{1}{z^{1}}[/mm] ist klar, das sie
> stetig ist für [mm]z^{1} \ne 0[/mm].
> Für
> [mm]v(z^{1},z^{2})=-\frac{(1+z^{2})}{(z^{1})^2}[/mm] und für [mm]z^{1} \ne 0[/mm]
> ist die Funktion meiner Meinung nach aber auch stetig.
>
> Laut Lösung kann man die Funktion jedoch nicht
> differenzierbar auf [mm]\R^2[/mm] fortsetzen
>
> Wo ist da mein Fehler?
>
> Danke, VG Matthias
Hallo Matthias,
soll das wirklich [mm]z^1[/mm] bzw. [mm]z^2[/mm] heißen oder doch [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm]?. Mindestens an einer Stelle scheinst du tatsächlich mal einen Exponenten geschrieben zu haben. Bevor wir rumrätseln: bitte eindeutige Lesbarkeit herstellen.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Di 24.09.2013 | | Autor: | matzekatze |
Hi abakus, danke für deine Hilfe. Ich habe die Aufgabe jetzt lesbar gestaltet.
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Hallo,
Ich werde folgende Bezeichnungen verwenden:
[mm] x := z_{1} , y:= z_{2}[/mm]
[mm] f(x,y) = \frac{1}{x} + \frac{y}{x} = \frac{1+y}{x}[/mm]
Es ist zu untersuchen ob f auf [mm] \IR^{2} [/mm] diffbar ist / ggf. ob diffbar fortgesetzt werden kann.
falls x [mm] \neq [/mm] 0 ist, ist diese Funktion diffbar als Zusammensetzung diffbarer Funktionen.
Was ist allerdings im Fall: x = 0?
Jetzt du.
Gruß Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Di 24.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo matzekatze,
eine differenzierbare Fortsetzung von $f$ wäre insbesondere eine stetige Fortsetzung von $f$.
Untersuche also, ob [mm] $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ [/mm] existiert. Falls nein, ist $f$ noch nicht einmal stetig fortsetzbar. Falls ja, ist der Wert von [mm] $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ [/mm] der einzige Kandidat für den Wert einer differenzierbaren Fortsetzung von $f$ in $(0,0)$.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Di 24.09.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
> Hallo matzekatze,
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> eine differenzierbare Fortsetzung von [mm]f[/mm] wäre insbesondere
> eine stetige Fortsetzung von [mm]f[/mm].
>
> Untersuche also, ob [mm]\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)[/mm] existiert.
> Falls nein, ist [mm]f[/mm] noch nicht einmal stetig fortsetzbar.
> Falls ja, ist der Wert von [mm]\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)[/mm] der
> einzige Kandidat für den Wert einer differenzierbaren
> Fortsetzung von [mm]f[/mm] in [mm](0,0)[/mm].
Für Matzekatze.
Eine kleine Anmerkung (eventuell auch für komplexere Bsps) - du kannst durch:
[mm] x = r*cos( \phi ) , y = r*sin( \phi )[/mm] den Übergang (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0) zu r [mm] \to [/mm] 0 machen - oftmals erleichtert dies die Bestimmung.
Aja das fällt mir erst jetzt auf: in der Angabe steht explizit für x [mm] \neq [/mm] 0. Dies würde aber kaum Sinn machen - untersucht soll wohl eher für den Fall x = 0 werden. für x [mm] \neq [/mm] 0 ist die Fkt. diffbar als Zusammensetzung diffbarer Funktionen.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Gruß Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:49 Di 24.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
> Eine kleine Anmerkung (eventuell auch für komplexere
> Bsps) - du kannst durch:
> [mm]x = r*cos( \phi ) , y = r*sin( \phi )[/mm] den Übergang (x,y)
> [mm]\to[/mm] (0,0) zu r [mm]\to[/mm] 0 machen - oftmals erleichtert dies die
> Bestimmung.
Sicherheitshalber eine Warnung: Genau das gleiche sind die beiden Übergänge nicht.
Sei [mm] $f\colon\IR^2\setminus\{0\}\to\IR$ [/mm] und [mm] $a\in\IR$.
[/mm]
Falls
[mm] $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=a$
[/mm]
gilt, gilt für alle [mm] $\phi\in\IR$ [/mm] auch
[mm] $\lim_{r\to 0}f(r*\cos(\phi),r*\sin(\phi))=a$.
[/mm]
Die Umkehrung stimmt jedoch nicht!
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Di 24.09.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
> Hallo zusammen,
>
>
> > Eine kleine Anmerkung (eventuell auch für komplexere
> > Bsps) - du kannst durch:
> > [mm]x = r*cos( \phi ) , y = r*sin( \phi )[/mm] den Übergang
> (x,y)
> > [mm]\to[/mm] (0,0) zu r [mm]\to[/mm] 0 machen - oftmals erleichtert dies die
> > Bestimmung.
> Sicherheitshalber eine Warnung: Genau das gleiche sind die
> beiden Übergänge nicht.
>
> Sei [mm]f\colon\IR^2\setminus\{0\}\to\IR[/mm] und [mm]a\in\IR[/mm].
>
> Falls
>
> [mm]\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=a[/mm]
>
> gilt, gilt für alle [mm]\phi\in\IR[/mm] auch
>
> [mm]\lim_{r\to 0}f(r*\cos(\phi),r*\sin(\phi))=a[/mm].
>
> Die Umkehrung stimmt jedoch nicht!
Die Umkehrung stimmt nicht, ja - ich war aber zu schreibfaul um ehrlich zu sein um das noch hinzuzufügen :)
Beste Grüße
Thomas
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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