Differenzierbarkeit beweisen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:19 So 15.01.2012 | | Autor: | mili03 |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Eine stetige Funktion [mm] \gamma:\IR\to\{z\in\IC:||z||=1\} [/mm] mit [mm] $\gamma(0)=1$ [/mm] und der Funktionalgleichung [mm] \gamma(x+y)=\gamma(x)\gamma(y) [/mm] ist differenzierbar. |
Hallo,
[mm] \lim_{h\to0}\frac{\gamma(t+h)-\gamma(t)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\gamma(t)\gamma(h)-\gamma(t)}{h}=\gamma(t)\lim_{h\to0}\frac{\gamma(h)-1}{h}, [/mm]
das heißt, wenn ich die Differenzierbarkeit im Nullpunkt nachgewiesen habe, folgt sie für alle Punkt [mm] t\in\IR.
[/mm]
Wie kann ich sie im Nullpunkt nachweisen?
Danke für Hilfe& Gruss
mili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 So 15.01.2012 | | Autor: | mili03 |
Ich hatte noch vergessen zu schreiben, dass [mm] \gamma [/mm] stetig ist (habs aber ausgebessert!)
Grußß
mili
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 13:36 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kennst die Stetigkeit also kannst du [mm] \gamma(h)-1=\gamma(h)-\gamma(0) [/mm] abschätzen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 So 15.01.2012 | | Autor: | mili03 |
Hallo leduart,
danke für die Antwort,
> Hallo
> du kennst die Stetigkeit also kannst du
> [mm]\gamma(h)-1=\gamma(h)-\gamma(0)[/mm] abschätzen
Ich glaube nicht, dass das reicht, denn der Nenner h kann ja deutlich schneller gegen 0 gehen (wenn ich den Zähler gemäß Epsilon-Delta Kriterium abschätze).
Müssten solche Funktionen nicht alle von der Form [mm] \gamma(x)=e^{i\varphi x} [/mm] sein?
Gruss
mili
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja du hast recht, das reicht nicht. ich stell die Frage wieder auf unbeantwortet. und richtig ist, für reelle x mus eâx rauskommen. und |z|=1 heisst [mm] z=e^{ix} [/mm] x reell.
Gruss leduart
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Ich will einmal einen Versuch wagen. Erst eine Vorbetrachtung zum komplexen Logarithmus:
Es bezeichne [mm]\log[/mm] den Hauptzweig des komplexen Logarithmus und [mm]\ln[/mm] den reellen natürlichen Logarithmus. In der rechten Halbebene [mm]H: \operatorname{Re}(z)>0[/mm] gilt die Funktionalgleichung
[mm]\log \left( z_1 \cdot z_2 \right) = \log z_1 + \log z_2 \ \ \mbox{für alle} \ \ z_1,z_2 \in H[/mm]
Zum Beweis setzt man
[mm]z_1 = r_1 \operatorname{e}^{\operatorname{i} t_1} \, , \ \ z_2 = r_2 \operatorname{e}^{\operatorname{i} t_2} \ \ \text{mit} \ \ r_1,r_2 \in (0,\infty); \ t_1,t_2 \in \left( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)[/mm]
Dann gilt:
[mm]\log z_1 = \ln r_1 + \operatorname{i} t_1 \, , \ \ \log z_2 = \ln r_r + \operatorname{i} t_2[/mm]
Und in [mm]z_1 z_2 = r_1 r_2 \operatorname{e}^{\operatorname{i} ( t_1 + t_2)}[/mm] ist das Argument [mm]t_1 + t_2 \in \left( - \pi , \pi \right)[/mm], wie es beim Hauptzweig sein muß. Es folgt:
[mm]\log \left( z_1 z_2 \right) = \ln (r_1 r_2) + \operatorname{i} (t_1 + t_2) = \ln r_1 + \operatorname{i} t_1 + \ln r_2 + \operatorname{i} t_2 = \log z_1 + \log z_2[/mm]
Damit ist die Funktionalgleichung über [mm]H[/mm] gezeigt.
Jetzt betrachtet man für reelle [mm]t[/mm] mit [mm]|t|[/mm] genügend klein die Funktion
[mm]g(t) = \log \gamma(t)[/mm]
Aus Stetigkeitsgründen liegt dann [mm]\gamma(t)[/mm] in einer Umgebung von 1, so daß man den Logarithmus anwenden kann. Auch die Verkettung [mm]\log \gamma(t)[/mm] ist dann stetig und gehorcht der Cauchyschen Funktionalgleichung
[mm]g(t_1+t_2) = g(t_1) + g(t_2)[/mm]
Bekanntermaßen ist [mm]g(t)[/mm] dann eine Proportionalität, und hier muß der Proportionalitätsfaktor rein imaginär sein, da ja [mm]\gamma(t)[/mm] auf dem Einheitskreis liegt und [mm]\log[/mm] für Zahlen auf dem Einheitskreis rein imaginär ist. Es gibt also ein [mm]\alpha \in \mathbb{R}[/mm] mit [mm]g(t) = \operatorname{i} \alpha t[/mm]. Jetzt wird nach [mm]\gamma(t)[/mm] aufgelöst:
[mm]\log \gamma(t) = \operatorname{i} \alpha t[/mm]
[mm]\gamma(t) = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \alpha t}[/mm]
Das gilt für alle genügend kleinen [mm]|t|[/mm]. Insbesondere ist [mm]\gamma(t)[/mm] in [mm]t=0[/mm] differenzierbar. Folglich ist [mm]\gamma(t)[/mm] global differenzierbar, das wurde ja schon im Anfangsbeitrag gesagt. (Man kann sich jetzt überlegen, daß [mm]\gamma(t) = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \alpha t}[/mm] für alle reellen [mm]t[/mm] gelten muß.)
Irgendwie habe ich das Gefühl, als ob ich an etwas Wichtiges nicht gedacht habe. Auch ist es ärgerlich, daß dieser Beweis auf den komplexen Logarithmus zurückgreift. Wie auch immer, ein Anfang ist gemacht ...
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