Differenzierbarkeit f_{m}(x) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für jedes m [mm] \in \IR [/mm] sei [mm] g_{m} [/mm] : [mm] \IR^{+} \to\IR [/mm] mit [mm] g_{m}(x) [/mm] = [mm] x^{m}. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] g_{m} [/mm] überall differenzierbar ist und g´_{m}= [mm] mx^{m-1} [/mm] erfüllt. |
Hallo!
Leider brauche ich mal wieder Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich weiß, dass man zum Zeigen der Differenzierbarkeit die Existenz des Grenzwertes des Differenzenquotienten zeigen muss. Das habe ich auch schon probiert, aber leider komme ich damit überhaupt nicht auf die Ableitung. Ich weiß leider nicht, wie ich umformen soll oder sowas.
Ich bin soweit:
[mm] \bruch{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}=\bruch{x^{m}-x_{0}^{m}}{x-x_{0}}. [/mm] Damit habe ich schon allerhand probiert, um das noch umzuformen, z.B. Erweiterung des Nenners (und dann natürlich auch Zählers) zur Binomischen Formel und vieles mehr. Aber wenn ich den Grenzwert bilde, kommt bei mir immer im Nenner 0 raus...
Ich bin ratlos. Vielleicht hat jemand einen Tipp für mich?
Danke!
Erdbeerrose
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 So 13.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Du kannst auf der linken Seite dieser Gleichung Polynomdivision anwenden:
[mm] \frac{(x^m-x^m_0)}{(x-x_0)}=x^{m-1}+x_0x^{m-2}+x_0^2x^{m-3}+...+x_0^{m-1}
[/mm]
(Wenn Du Lust hast kannst Du das mit vollständiger Induktion beweisen.)
Wenn Du jetzt den Grenzübergang machst, liefert die rechte Seite der Gleichung die gewünschte Ableitung.
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Hallo!
Oh danke, das war wohl mal wieder das besagte Brett vorm Kopf!
Vielen Dank, hat mir sehr geholfen!
Erdbeerrose
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