Differenzierbarkeit im Nullp. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Di 06.05.2014 | | Autor: | FelixG. |
| Aufgabe | Sei g: R->R beliebig und [mm] f:R^2->R [/mm] defi niert durch f(x; y) = yg(x). Beweisen Sie, dass
f genau dann im Nullpunkt vollstandig di fferenzierbar ist, wenn g in x = 0 stetig ist. |
Brauche Hilfe bei der Lösung der Aufgabe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Di 06.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Programm:
1. Zeige , dass f in (0,0) partiell differenzierbar ist und berechne gradf(0,0).
2. Es gilt, wegen (1): f ist in (0,0) vollständig differenzierbar [mm] \gdw
[/mm]
$Q(s,t):= [mm] \bruch{f(s,t)-f(0,0)-gradf(0,0)*(s,t)}{||(s,t)||} \to [/mm] 0$ für (s,t) [mm] \to [/mm] (0,0)
3. Zeige also:
Q(s,t) [mm] \to [/mm] 0 für (s,t) [mm] \to [/mm] (0,0) [mm] \gdw [/mm] g ist in x=0 stetig.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Di 06.05.2014 | | Autor: | FelixG. |
Ich habe jetzt bei 1) für partielle Differentiation 0 raus und für gradf auch 0.
Bei 2.) steht somit für (s,t)->(0,0) das Q(s,t) auch gegen 0 geht.
Ist das so richtig? Hoffe du verstehst was ich meine!!! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:08 Mi 07.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe jetzt bei 1) für partielle Differentiation 0 raus
Hä ? Wa meinst Du damit ?
> und für gradf auch 0.
Das ist falsch ! Zeige: [mm] f_x(0,0)=0 [/mm] und [mm] f_y(0,0)=g(0). [/mm] Also ist
gradf(0,0)=(0,g(0))
> Bei 2.) steht somit für (s,t)->(0,0) das Q(s,t) auch
> gegen 0 geht.
Unsinn !
> Ist das so richtig?
Nein.
> Hoffe du verstehst was ich meine!!! :)
Ich verstehe nicht was Du meinst.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Illihide |
Ich habe genau das selbe Problem.
Ich bin bisher soweit : gradf(0,0)= (0,g(0)) (wie du es bereits sagtest)
und hab das ganze in die Formel eingestzt:
Q(s,t) = [mm] \bruch{tg(s)+(0,tg(o))}{ \parallel (s,t) \parallel }
[/mm]
Ist das soweit richtig oder ist das auch falsch? Wenn es richtig ist wie komme ich nun weiter weil es strebt ja alles gegen 0 ?1
LG Illi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mi 07.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe genau das selbe Problem.
> Ich bin bisher soweit : gradf(0,0)= (0,g(0)) (wie du es
> bereits sagtest)
> und hab das ganze in die Formel eingestzt:
>
> Q(s,t) = [mm]\bruch{tg(s)+(0,tg(o))}{ \parallel (s,t) \parallel }[/mm]
>
> Ist das soweit richtig oder ist das auch falsch?
falsch . $gradf(0,0)*(s,t)$ ist ein Skalarprodukt !!!
FRED
> Wenn es
> richtig ist wie komme ich nun weiter weil es strebt ja
> alles gegen 0 ?1
>
> LG Illi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Illihide |
Selbst wenn ich gradf(0,0)* (s,t) so stehen lasse, dann ergibt sich für mich noch das selbe problem....
Ich weis nicht wie ich dort etwas vereinfachen kann oder etwas herauslesen könnte...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Mi 07.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Selbst wenn ich gradf(0,0)* (s,t) so stehen lasse, dann
> ergibt sich für mich noch das selbe problem....
> Ich weis nicht wie ich dort etwas vereinfachen kann oder
> etwas herauslesen könnte...
Rechne nach:
[mm] $Q(s,t)=\bruch{t}{\wurzel{s^2+t^2}}*(g(s)-g(0))$
[/mm]
FRED
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