Differenzierbarkeit in 0 < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
ist [mm] f(x)=x^2cos(\frac{\pi}{x^2})
[/mm]
in x=0 differenzierbar?
Ich finde sowohl einen Beweis dafür, als auch dagegen:
Beweis dagegen:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm] existiert nicht, da f(0) nicht existiert. Also ist f(x) in x=0 nicht differenzierbar.
Beweis dafür:
[mm] f(0+h)=0+0+h^2cos(\frac{\pi}{h})
[/mm]
wobei [mm] h^2cos(\frac{\pi}{h}) [/mm] relativ klein in h ist:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\frac{h^2cos(\frac{\pi}{h}) }{h}=0
[/mm]
Also ist f(x) in x=0 differenzierbar.
Wo ist mein Denkfehler?
Viele Grüße,
Rutzel
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Hallo Rutzel!
Da die Funktion in [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ nicht definiert ist, kann sie dort weder stetig noch differenzierbar sein.
Allerdings ist es durchaus möglich durch entsprechende Definition von $f(0) \ := \ ...$ , die Differenzierbarkeit zu erzielen (habe es nun nicht nachgerechnet).
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hm,
laut Assistenten ist sie das aber, von ihm stammt der Beweis dafür.
D.h. der Assistent hat unrecht?
Viele Grüße,
Rutzel
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> laut Assistenten ist sie das aber, von ihm stammt der
> Beweis dafür.
>
> D.h. der Assistent hat unrecht?
Hallo,
wenn der Assistent an einer nicht definierten Stelle die Differenzierbarkeit gezeigt hat, dann hat er unrecht.
Allerdings könnte ich mir auch gut vorstellen, daß dem Studenten des Assistenten ein kleines Detail entgangen ist:
möglicherweise wurde gar nicht die von Dir gepostete Funktion besprochen, sondern die Funktion g mit
[mm] g(x):=\begin{cases} x^2cos(\frac{\pi}{x^2}) , & \mbox{für } x\not=0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
Nun,
dann stelle ich hier mal Aufgabe+Lösung rein:
Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Lösung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Aufgabe:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
In diesem Fall liegt der Fehler wohl beim Material,
das der Assistent seinen Studenten verteilt.
Damit ist der Assistent (oder der Dozent?) jedoch
nicht entschuldigt... 
Gruß Al-Chw.
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> Damit ist der Assistent (oder der Dozent?) jedoch
> nicht entschuldigt...
Nein, keinesfalls!
Und deshalb kommt jetzt endlich die langersehnte Stunde des innerlich strahlenden Studenten, welcher schon monatelang darauf wartet, mal einen Fehler zu entdecken, statt ihn selbst zu machen, und nun ganz demütig fragt: "Könnte es sein, daß..."
(Mal einen Fehler zu entdecken, das war der Traum meiner Arbeitsgruppe im 1. Semester...)
Gruß v. Angela
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