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Hallo,
ich habe eine Frage zur Differenzierbarkeit in [mm] R^n.
[/mm]
Es heißt immer, dass der Raum eine offene Menge sein muss, aber warum genau muss das gefordert werden.
Ich habe mir gedacht, dass es daran liegt, dass man ja rechts- und linksseitigen Grenzwert bestimmen muss (was bei einer geschlossenen menge an den Grenzen ja dann nicht funktioniert)
Aber stimmt das auch bzw gibt es noch eine Begründung dafür?
MfG Ann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo anncharlot,
> ich habe eine Frage zur Differenzierbarkeit in [mm]R^n.[/mm]
> Es heißt immer, dass der Raum eine offene Menge sein
> muss, aber warum genau muss das gefordert werden.
> Ich habe mir gedacht, dass es daran liegt, dass man ja
> rechts- und linksseitigen Grenzwert bestimmen muss (was bei
> einer geschlossenen menge an den Grenzen ja dann nicht
> funktioniert)
EDIT: Berührungspunkt durch Häufungspunkt ersetzt.
Beachte, "nicht offen" heißt nicht "abgeschlossen". Teilmengen metrischer Räume sind nämlich keine Türen.
Bei Funktionen, die auf einem Intervall definiert sind, läßt sich der einseitige Grenzwert definieren. Dabei spielt es keine Rolle, ob das Intervall offen, abgeschlossen, beides oder keines von beiden ist. (Für jeden der vier Fälle gibt es tatsächlich Beispiele). Aber es spielt eine Rolle, daß die Punkte des Intervalls auch Häufungspunkte des Intervalls sind, daß man also in jeder Richtung (wir haben ja nur eine) beliebig nahe an den Punkt kommt.
Die Ableitung $A$ einer Funktion von [mm] $U\subseteq \IR^2\to \IR$ [/mm] im Punkt [mm] $(x_0, y_0)$ [/mm] ist eine lineare Abbildung. Diese ist nur definiert, wenn $A(1, 0)$ und $A(0, 1)$ bekannt ist, das heißt, wenn wir in der x-Richtung und in der y-Richtung in $U$ beliebig nahe an [mm] $(x_0, y_0)$ [/mm] kommen können. Dies ist z. B. nicht möglich, wenn $U$ z. B. die x-Achse ist. Aber es wäre durchaus möglich, wenn z. B. U ein abgeschlossenes Rechteck wäre. Diese hierzu notwendige und hinreichende Eigenschaft von $U$ zu bestimmen, ist kompliziert, und der Einfachkeit halber setzt man von vorneherein $U$ als offen voraus. Dies ist auf jeden Fall hinreichend. Differentialrechnung ist so auch kompliziert genug.
Gruß,
Wolfgang
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Also folgt dass die Menge offen sein muss praktisch schon aus der stetigkeit die ja für die Differenzierbarkeit gefordert wird.
kann ich dann praktisch als Antwort darauf, warum eine offene Menge gewählt wird sagen,
dass man von jeder Richtung sich dem Punkt annähern können muss (was für die Stetigkeit gefordert wird)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Also folgt dass die Menge offen sein muss praktisch schon
> aus der stetigkeit die ja für die Differenzierbarkeit
> gefordert wird.
> kann ich dann praktisch als Antwort darauf, warum eine
> offene Menge gewählt wird sagen,
> dass man von jeder Richtung sich dem Punkt annähern
> können muss (was für die Stetigkeit gefordert wird)?
EDIT: Berührungspunkt durch Häufungspunkt ersetzt.
Na ja, nicht für die Stetigkeit, sondern für die Definition des Grenzwertes des "Differenzenquotienten". Dieser Grenzwert ist nur für Häufungspunkte in jeder Richtung definierbar, wenn also [mm] $(x_0, y_0)$ [/mm] ein Häufungspunkt von [mm] $U\cap \{(x_0, y)\colon y\in \IR\}$ [/mm] und von [mm] $U\cap \{(x, y_0)\colon x\in\IR\}$ [/mm] ist.
Grenzwerte gegen [mm] $x_0$ [/mm] sind grundsätzlich nur definierbar, wenn [mm] $x_0$ [/mm] ein Häufungspunkt von $U$ ist. Dies ist auch bei [mm] $U\subseteq \IR$ [/mm] der Fall. So ist für [mm] $U=\IN$ [/mm] der Ausdruck [mm] $\lim_{x\to 1} [/mm] f(x)$ nicht definiert, weil 1 kein Häufungspunkt von [mm] $\IN$ [/mm] ist. Dasselbe gilt, wenn $f(x)$ ein Differenzenquotient ist.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Sa 03.11.2012 | | Autor: | anncharlot |
dankeschön 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also folgt dass die Menge offen sein muss praktisch schon
> aus der stetigkeit die ja für die Differenzierbarkeit
> gefordert wird.
hier gibt es kein MUSS - sondern einfach nur: Es ist hinreichend!
(Wenn etwas sein MUSS, dann bedeutet das: Das ist NOTWENDIG!)
Gruß,
Marcel
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