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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Sa 07.06.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Sei f: [mm] IR^2 [/mm] --> IR definiert durch
f(x,y)=0; x=0
f(x,y)= [mm] x^2 [/mm] ysin(y/x) x [mm] \not=0
[/mm]
a) Zeige: f ist in jedem Punkt partiell diffbar und berechne die partiellen Ableitungen.
b) Zeige, dass [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] in keinem Punkt der Form (0,y) mit y [mm] \not=0 [/mm] stetig ist.
c) Ist f total diffbar in (0,y) mit y [mm] \in [/mm] IR? |
Hallo!
Meine Vorschläge:
f ist partiell diffbar auf [mm] IR^2 [/mm] \ {(0,y)} als Verkettung partiell diffbarer Funktionen mit den partiellen Ableitungen:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)= 2xysin(y/x)-y^2 [/mm] cos(y/x)
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)= [/mm] ysin(y/x)+xycos(y/x)
f ist auch in Punkten der Form (0,y) diffbar, denn
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(0,y+h)-f(0,y)}{h} [/mm] = 0
Also ist f auf [mm] IR^2 [/mm] partiell diffbar.
b) Betrachte die Folge (1/n,y) die konvergiert gegen (0,y) für n--> [mm] \infty.
[/mm]
Dann geht [mm] \bruch{2y}{n} [/mm] sin [mm] (yn)-y^2 [/mm] cos(yn) nicht gegen (0,y) für n--> [mm] \infty.
[/mm]
c) Nach der Definition der totalen Diffbarkeit muss (x,y)--> <( [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(0,y), \bruch{\partial f}{\partial y}(0,y)), [/mm] (x,y)> =0
die approximierende lineare Abbildung sein und wegen f(0,y)=0 muss gelten:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,y)} \bruch{f(x,y)}{||(x,y)||}=0
[/mm]
Es ist [mm] |\bruch{x^2 y sin(y/x)}{\wurzel(x^2+y^2)}| \le [/mm] |xysin(y/x)| --> 0 für (x,y)-->(0,y)
Also ist f total diffbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Sa 07.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]IR^2[/mm] --> IR definiert durch
>
> f(x,y)=0; x=0
> f(x,y)= [mm]x^2[/mm] ysin(y/x) x [mm]\not=0[/mm]
>
> a) Zeige: f ist in jedem Punkt partiell diffbar und
> berechne die partiellen Ableitungen.
>
> b) Zeige, dass [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] in keinem
> Punkt der Form (0,y) mit y [mm]\not=0[/mm] stetig ist.
>
> c) Ist f total diffbar in (0,y) mit y [mm]\in[/mm] IR?
> Hallo!
>
> Meine Vorschläge:
>
> f ist partiell diffbar auf [mm]IR^2[/mm] \ {(0,y)} als Verkettung
> partiell diffbarer Funktionen mit den partiellen
> Ableitungen:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)= 2xysin(y/x)-y^2[/mm]
> cos(y/x)
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=[/mm] ysin(y/x)+xycos(y/x)
>
> f ist auch in Punkten der Form (0,y) diffbar, denn
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(0,y+h)-f(0,y)}{h}[/mm] = 0
>
> Also ist f auf [mm]IR^2[/mm] partiell diffbar.
>
> b) Betrachte die Folge (1/n,y) die konvergiert gegen (0,y)
> für n--> [mm]\infty.[/mm]
>
> Dann geht [mm]\bruch{2y}{n}[/mm] sin [mm](yn)-y^2[/mm] cos(yn) nicht gegen
> (0,y) für n--> [mm]\infty.[/mm]
>
> c) Nach der Definition der totalen Diffbarkeit muss
> (x,y)--> <( [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0,y), \bruch{\partial f}{\partial y}(0,y)),[/mm]
> (x,y)> =0
> die approximierende lineare Abbildung sein und wegen
> f(0,y)=0 muss gelten:
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,y)} \bruch{f(x,y)}{||(x,y)||}=0[/mm]
>
> Es ist [mm]|\bruch{x^2 y sin(y/x)}{\wurzel(x^2+y^2)}| \le[/mm]
> |xysin(y/x)| --> 0 für (x,y)-->(0,y)
>
> Also ist f total diffbar.
Alles bestens !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Sa 07.06.2014 | | Autor: | Trikolon |
Super, danke. Freut mich zu hören.
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