Differenzierbarkeit prüfen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $f: [mm] \IR^2 \to \IR$ [/mm] durch
$f(x,y)$ = [mm] \left\{\begin{matrix}
\frac{x^2y}{x^2 + y^2}, & \mbox{für }(x,y) \not= \mbox{(0,0)} \\
0, & \mbox{für }(x,y) = \mbox{ (0,0)}
\end{matrix}\right.\\$
[/mm]
gegeben. Wo ist $f$ differenzierbar und wo nicht? |
Vorweg erstmal ein nettes 'Hallo' an alle, da dies ja meine erste Frage ist ;)
Zu der Aufgabe: Der interessante Punkt wird hier ja (0,0) sein, weil der Bruch eine Verknüpfung differenzierbarer Funktionen ist und somit auch differenzier bar ist, richtig?
In dem Punkt (0,0) muss ich dann also zeigen, dass $f$ stetig ist und die Richtungsableitungen existieren, oder?
Für die Stetigkeit habe ich mir eine Nullfolge [mm] $x_n [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right) [/mm] genommen und habe
[mm] $\lim_{n \to \infty} f(x_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{1}{n}\right)^2 \frac{1}{n}}{\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \left(\frac{1}{n}\right)^2} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{2} [/mm] = 0 = f(0,0) = [mm] f(\lim_{n \to \infty} x_n)$
[/mm]
gezeigt. Somit ist $f$ stetig in $(0,0)$.
Für die Richtungsableitung erhalte ich dann nach Definition:
[mm] $\partial_n [/mm] f = [mm] \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\left(f(p+hv)-f(p)\right)$
[/mm]
mit $p = (0,0)$ (ich will ja die Richtungsableitung in (0,0) haben) folgt:
[mm] $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} [/mm] f(hv) = [mm] \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \frac{(hv_1)^2 hv_2}{(hv_1)^2 + (hv_2)^2} [/mm] = [mm] \frac{v_1^2v_2}{v_1^2 + v_2^2}$
[/mm]
An dieser Stelle hab ich ja jetzt die Richtungsableitung die für [mm] $(v_1, v_2) [/mm] = (x, y)$ ja dem ersten Fall der Funktion entspricht. Heißt das ich wäre nun fertig? Bzw kann ich folgern, dass $f$ in allen Punkten differenzierbar ist?
€DIT:
Jetzt habe ich rausbekommen, dass $f$ nicht in $(0,0) differenzierbar ist...:
Annahme: $f$ ist in allen Punkten differenzierbar
Dann ist ja [mm] $\partial_v [/mm] f = [mm] \nabla [/mm] f [mm] \cdot [/mm] v$ (*), aber wenn ich die partiellen Ableitungen bilde erhalte ich (Zwischenschritte lass ich weg):
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{2xy(x+y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}$
[/mm]
und
[mm] $\frac{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] \frac{x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}$
[/mm]
Dann müsste mit (*) folgen:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}\cdot v_1 [/mm] + [mm] \frac{\partial f}{\partial y}\cdot v_2 [/mm] = [mm] v_1 \cdot \frac{2xy(x+y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2} [/mm] + [mm] v_2 \cdot \frac{x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}$
[/mm]
Mit $p = (0,0)$ erhalte ich, dass beide Brüche Null sind, weil die Funktion ja so definiert ist.
Aber [mm] $\partial_v [/mm] f [mm] \not= [/mm] 0$ in $p = (0,0)$ (habe ich ja oben ausgerechnet).
Hieraus würde ich jetzt folgern, dass es doch nicht differenzierbar in (0,0) ist?!?!
Bitte um Hilfe meine Verwirrung zu lösen :D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Do 30.05.2013 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm] durch
> [mm]f(x,y)[/mm] = [mm]\left\{\begin{matrix}
\frac{x^2y}{x^2 + y^2}, & \mbox{für }(x,y) \not= \mbox{(0,0)} \\
0, & \mbox{für }(x,y) = \mbox{ (0,0)}
\end{matrix}\right.\\[/mm]
>
> gegeben. Wo ist [mm]f[/mm] differenzierbar und wo nicht?
Hallo,
hier würde ich mal vorschlagen, das Ganze in Polarkoordinaten umzuwandeln:
[mm]f(r,\phi)=\frac{r^3*\cos^2\phi*\sin\phi}{r^2}=r*\cos^2\phi*\sin\phi[/mm] für r>0.
Gruß Abakus
>
> Vorweg erstmal ein nettes 'Hallo' an alle, da dies ja meine
> erste Frage ist ;)
> Zu der Aufgabe: Der interessante Punkt wird hier ja (0,0)
> sein, weil der Bruch eine Verknüpfung differenzierbarer
> Funktionen ist und somit auch differenzier bar ist,
> richtig?
> In dem Punkt (0,0) muss ich dann also zeigen, dass [mm]f[/mm]
> stetig ist und die Richtungsableitungen existieren, oder?
>
> Für die Stetigkeit habe ich mir eine Nullfolge [mm]x_n[/mm] =
> [mm]\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)[/mm] genommen und habe
> [mm]\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{1}{n}\right)^2 \frac{1}{n}}{\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \left(\frac{1}{n}\right)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{2} = 0 = f(0,0) = f(\lim_{n \to \infty} x_n)[/mm]
>
> gezeigt. Somit ist [mm]f[/mm] stetig in [mm](0,0)[/mm].
>
> Für die Richtungsableitung erhalte ich dann nach
> Definition:
> [mm]\partial_n f = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\left(f(p+hv)-f(p)\right)[/mm]
>
> mit [mm]p = (0,0)[/mm] (ich will ja die Richtungsableitung in (0,0)
> haben) folgt:
> [mm]\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} f(hv) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \frac{(hv_1)^2 hv_2}{(hv_1)^2 + (hv_2)^2} = \frac{v_1^2v_2}{v_1^2 + v_2^2}[/mm]
>
> An dieser Stelle hab ich ja jetzt die Richtungsableitung
> die für [mm](v_1, v_2) = (x, y)[/mm] ja dem ersten Fall der
> Funktion entspricht. Heißt das ich wäre nun fertig? Bzw
> kann ich folgern, dass [mm]f[/mm] in allen Punkten differenzierbar
> ist?
>
>
> €DIT:
> Jetzt habe ich rausbekommen, dass [mm]f[/mm] nicht in $(0,0)
> differenzierbar ist...:
> Annahme: [mm]f[/mm] ist in allen Punkten differenzierbar
> Dann ist ja [mm]\partial_v f = \nabla f \cdot v[/mm] (*), aber wenn
> ich die partiellen Ableitungen bilde erhalte ich
> (Zwischenschritte lass ich weg):
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2xy(x+y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> und
> [mm]\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> Dann müsste mit (*) folgen:
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x}\cdot v_1 + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot v_2 = v_1 \cdot \frac{2xy(x+y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2} + v_2 \cdot \frac{x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> Mit [mm]p = (0,0)[/mm] erhalte ich, dass beide Brüche Null sind,
> weil die Funktion ja so definiert ist.
> Aber [mm]\partial_v f \not= 0[/mm] in [mm]p = (0,0)[/mm] (habe ich ja oben
> ausgerechnet).
> Hieraus würde ich jetzt folgern, dass es doch nicht
> differenzierbar in (0,0) ist?!?!
> Bitte um Hilfe meine Verwirrung zu lösen :D
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Grüße
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Danke für die Antwort =)
> Hallo,
> hier würde ich mal vorschlagen, das Ganze in
> Polarkoordinaten umzuwandeln:
>
> [mm]f(r,\phi)=\frac{r^3*\cos^2\phi*\sin\phi}{r^2}=r*\cos^2\phi*\sin\phi[/mm] für
> r>0.
>
> Gruß Abakus
Wenn ich jetzt die Funktion nach y ableite erhalte ich [mm] $\frac{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] -2r\cos(\phi)\sin^2(\phi) [/mm] + [mm] r\cos^3(\phi)$ [/mm] und das ist ja in (0,0) nicht stetig, weil [mm] $\lim_{\phi \to 0} -2r\sin^2(\phi)\cos(\phi) [/mm] + [mm] r\cos^3(\phi) [/mm] = r$. Würde das dann schon reichen zu sagen, dass $f$ in allen Punkten für $r > 0$ differenzierbar ist?
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 01.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Fr 31.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm] durch
> [mm]f(x,y)[/mm] = [mm]\left\{\begin{matrix}
\frac{x^2y}{x^2 + y^2}, & \mbox{für }(x,y) \not= \mbox{(0,0)} \\
0, & \mbox{für }(x,y) = \mbox{ (0,0)}
\end{matrix}\right.\\$[/mm]
>
> gegeben. Wo ist [mm]f[/mm] differenzierbar und wo nicht?
>
> Vorweg erstmal ein nettes 'Hallo' an alle, da dies ja meine
> erste Frage ist ;)
> Zu der Aufgabe: Der interessante Punkt wird hier ja (0,0)
> sein, weil der Bruch eine Verknüpfung differenzierbarer
> Funktionen ist und somit auch differenzier bar ist,
> richtig?
> In dem Punkt (0,0) muss ich dann also zeigen, dass [mm]f[/mm]
> stetig ist und die Richtungsableitungen existieren, oder?
Nein, das reicht für Differenzierbarkeit in (0,0) nicht aus !
>
> Für die Stetigkeit habe ich mir eine Nullfolge [mm]$x_n[/mm] =
> [mm]\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)[/mm] genommen und habe
> [mm]\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{1}{n}\right)^2 \frac{1}{n}}{\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \left(\frac{1}{n}\right)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{2} = 0 = f(0,0) = f(\lim_{n \to \infty} x_n)[/mm]
>
> gezeigt. Somit ist [mm]f[/mm] stetig in [mm](0,0)[/mm].
Das hast Du nicht gezeigt ! Denn Du hast Dir nur eine einzige Nullfolge hergenommen.
>
> Für die Richtungsableitung erhalte ich dann nach
> Definition:
> [mm]\partial_n f = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\left(f(p+hv)-f(p)\right)[/mm]
>
> mit [mm]p = (0,0)[/mm] (ich will ja die Richtungsableitung in (0,0)
> haben) folgt:
> [mm]\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} f(hv) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \frac{(hv_1)^2 hv_2}{(hv_1)^2 + (hv_2)^2} = \frac{v_1^2v_2}{v_1^2 + v_2^2}[/mm]
>
> An dieser Stelle hab ich ja jetzt die Richtungsableitung
> die für [mm](v_1, v_2) = (x, y)[/mm] ja dem ersten Fall der
> Funktion entspricht. Heißt das ich wäre nun fertig? Bzw
> kann ich folgern, dass [mm]f[/mm] in allen Punkten differenzierbar
> ist?
>
>
> €DIT:
> Jetzt habe ich rausbekommen, dass $f$ nicht in $(0,0)
> differenzierbar ist...:
> Annahme: [mm]f[/mm] ist in allen Punkten differenzierbar
> Dann ist ja [mm]\partial_v f = \nabla f \cdot v[/mm] (*), aber wenn
> ich die partiellen Ableitungen bilde erhalte ich
> (Zwischenschritte lass ich weg):
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2xy(x+y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> und
> [mm]\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> Dann müsste mit (*) folgen:
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x}\cdot v_1 + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot v_2 = v_1 \cdot \frac{2xy(x+y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2} + v_2 \cdot \frac{x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> Mit [mm]p = (0,0)[/mm] erhalte ich, dass beide Brüche Null sind,
> weil die Funktion ja so definiert ist.
> Aber [mm]\partial_v f \not= 0[/mm] in [mm]p = (0,0)[/mm] (habe ich ja oben
> ausgerechnet).
> Hieraus würde ich jetzt folgern, dass es doch nicht
> differenzierbar in (0,0) ist?!?!
> Bitte um Hilfe meine Verwirrung zu lösen :D
Zeige zunächst, dass f in (0,0) partiell differenzierbar ist.
Dann untersuche
[mm] D(x,y):=\bruch{f(x,y)-f(0,0)-xf_x(0,0)-yf_y(0,0)}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
Ist [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}D(x,y)=0, [/mm] so ist f in (0,0) differenzierbar, anderenfalls nicht.
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Grüße
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Hallo,
Also du betrachtest
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) =(0,0)\end{cases}
[/mm]
und willst auf Diffbarkeit prüfen.
Gut,
Behauptung 1: f ist für alle (x,y) [mm] \neq [/mm] (0,0) beliebig oft diffbar.
Bw: Klar da Zusammensetzung beliebig oft diffbarer Funktionen.
So du überzeugst dich nun von der Stetigkeit im Punkt (0,0) - die Wahl deiner Folge (1/n, 1/n) wie Fred schon gesagt hat ist im allg. nicht ausreichend.
Versuche es so:
Behauptung 2: f ist auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] stetig.
Bw:
Um bessere Einsicht zu erlangen setze : x = [mm] rCos(\Phi) [/mm] , y = [mm] rSin(\Phi) [/mm] , du erkennst dass nun der Übergang (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0) reduziert/(gleichbedeutend ist wie) wird auf den Übergang
r [mm] \to [/mm] 0.
wir erhalten:
[mm] \limes_{r\rightarrow 0} \frac{r^{2}Cos^{2}(\Phi)rSin(\Phi)}{r^{2}Cos^{2}(\Phi)+r^{2}Sin^{2}(\Phi)} [/mm] = [mm] \limes_{r\rightarrow 0} \frac{r^{3}Cos^{2}(\Phi)Sin(\Phi)}{r^{2}(Cos^{2}(\Phi)+Sin^{2}(\Phi))} [/mm] = [mm] \limes_{r\rightarrow 0} \frac{rCos^{2}(\Phi)Sin(\Phi)}{Cos^{2}(\Phi)+Sin^{2}(\Phi)} [/mm] = 0.
es folgt die Behauptung.
Nun möchtest du auf Diffbarkeit prüfen:
Behauptung 3: f ist auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] diffbar.
Bw:
[mm] \limes_{a\rightarrow 0}\frac{f(x+ah,y+ak)-f(x,y)}{a} [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow 0}\frac{f(0+ah,0+ak)-(0,0)}{a} [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow 0}\frac{a^{2}h^{2}ak}{a^{2}h^{2}+a^{2}k^{2}}\frac{1}{a} [/mm] = (nach kürzen) = [mm] \frac{h^{2}k}{h^{2}+k^{2}}.
[/mm]
Du siehst also : f ist im Punkt (0,0) NICHT diffbar - zwar Gateaux diffbar aber für Frechet Diffbarkeit müsste hier die Richtungsableitung eine lineare Funktion sein.
lg Thomas
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Danke!
So ähnlich hab ich es am Ende dann auch hinbekommen =)
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