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| Aufgabe | Untersuchen sie die folgenden Abbildungen auf Differenzierbarkeit und geben sie gegebenenfalls eine Ableitung an.
1. [mm] \gamma:[0,1] \to C([0,1];\IR) [/mm] : t [mm] \mapsto \gamma(t) [/mm] : [mm] \gamma(t)(x) [/mm] = [mm] e^{t \cdot x}
[/mm]
2. f : [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] : x = [mm] \vektor{x_1 \\ x_2} \mapsto sin(x_1) cos(x_2)
[/mm]
3. F : [mm] C([0,1];\IR) \to \IR [/mm] : f [mm] \mapsto (f(\bruch{1}{2}))^2
[/mm]
4. F : [mm] C([0,1];\IR) \to \IR [/mm] : f [mm] \mapsto f(x_1) f(x_2), [/mm] wobei [mm] x_1,x_2 \in [/mm] [0,1] zwei fest gewählte Punkte seien.
Dabei ist [mm] C([0,1];\IR) [/mm] der Raum der stetigen Funktionen. |
Hallo!
Ich weiß bei dieser Fragestellung nicht so recht wie ich an die Aufgabe heran gehen kann. Ich habe zum 1. Teil einen Versuch und wäre dankbar, wenn mir jemand sagen könnte ob das von der Herangehensweise so geht und mir nen Tipp geben könnte wies in den anderen Teilen weiter geht.
Zu 1.:
Also wir hatten einen Satz, der besagt, dass Kurven im [mm] \IR^n [/mm] genau dann differenzierbar sind, wenn gilt:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{h} \parallel \gamma(t_0+h) [/mm] - [mm] \gamma(t_0) \parallel_V [/mm] = 0
Ich denke, dass ich diesen Satz hier anwenden darf, da das Intervall aus [mm] \IR [/mm] ist und die Abbildung nach [mm] \IR [/mm] geht. Es ist also zu zeigen, dass der limes für Die Kuve gegen null geht.
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{h} \parallel \gamma(t_0+h) [/mm] - [mm] \gamma(t_0) \parallel_V
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{h} \parallel e^{(t_0+h) \cdot x} [/mm] - [mm] e^{(t_0) \cdot x} \parallel_V
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{1}{h} \parallel e^{t_0 \cdot x} \cdot (e^{h \cdot x} [/mm] - 1) [mm] \parallel_V
[/mm]
Nun kann man da Steitigkeit vorliegt (muss ich die extra zeigen?) den limes rein ziehen und [mm] e^{t_0 \cdot x} [/mm] als Skalar aus der Norm ziehen und aus dem limes, da es nicht von h abhängt.
= [mm] |e^{t_0 \cdot x}| \parallel \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{(e^{h \cdot x} - 1) }{h} \parallel_V
[/mm]
Wende nun l'Hospital an:
= [mm] |e^{t_0 \cdot x}| \parallel \limes_{h\rightarrow 0} (e^{h \cdot x} [/mm] - 1) [mm] \parallel_V
[/mm]
= [mm] |e^{t_0 \cdot x}| \cdot [/mm] 0
= 0
Damit müsste doch jetzt gezeigt sein, dass die Kuve differenzierbar ist oder?
Bei den anderen Aufgaben habe ich jetzt das Problem, dass ich nicht denselben Satz anwenden kann, da es sich ja jetzt um Funktionen handelt.
Ich habe allerdings folgenden Satz gefunden:
Es sei V mit Norm ein Banachraum, dann heißt f differenzierbar im Punkt [mm] x_0, [/mm] wenn es eine stetige lineare Abbildung l : V to [mm] \IR [/mm] gibt mit:
[mm] \limes_{\parallel h \parallel \rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel_V} f(x_0 [/mm] + h) - [mm] f(x_0) [/mm] - l(h) = 0
Dabei ist l doch die Ableitung von f oder?
Ich habe versucht, die Funktion von 2. in die obige Gleichung einzusetzen, aber ich verstehe nicht so richtig, wie ich dass machen soll... muss ich h dann auch in die Vektorschreibweise umsetzen, also als h = [mm] \vektor{h_1 \\ h_2}? [/mm] Ist dann [mm] f(x_0 [/mm] + h) = sin [mm] (x_0_1 [/mm] + [mm] h_1) \cdot [/mm] cos [mm] (x_0_2 [/mm] + [mm] h_2) [/mm] ?
Un ist l wirklich einfach die Ableitung?
Ich bin da ein bisschen verwirrt und wäre dankbar wenn mir jemand sagen kann ob das soweit stimmt oder mir nen Tipp geben kann.
Lg Wiebke
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Hallo!
Also ich habe mir zum zweiten Teil der Aufgabe noch Gedanken gemacht. Da wieder eine Abbildung innerhalb des [mm] \IR^n [/mm] stattfindet, kann ich den folgenden Satz anwenden.
[mm] \limes_{\parallel h \parallel\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel f(x_0+h)-f(x_0) \parallel [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] f ist im Punkt [mm] x_0 [/mm] differenzierbar.
Ich muss also zeigen, dass die obige Gleichung null ergibt.
[mm] \limes_{\parallel h \parallel\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel f(\vektor{x_1 + h_1 \\ x_2 + h_2}) [/mm] - [mm] f(\vektor{x_1 \\ x_2}) \parallel
[/mm]
= [mm] \limes_{\parallel h \parallel\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel sin(x_1+h_1) \cdot cos(x_2+h_2)-sin(x_1) \cdot cos(x_2) \parallel
[/mm]
Und an der nächsten Stelle bin ich nicht ganz sicher, aber wenn man jetzt den limes in die Summen und Produkte zieht, dann wird doch aus h immer 0 oder? Ich mein man darf den limes reinziehen, wenn Stetigkeit vorliegt und sinus und cosinus sind ja bekannterweise stetig.
= [mm] \parallel sin(x_1) \cdot cos(x_2)-sin(x_1) \cdot cos(x_2) \parallel \cdot \limes_{\parallel h \parallel\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel}
[/mm]
= 0 [mm] \cdot \limes_{\parallel h \parallel\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel}
[/mm]
Stimmt das bis hierher? Und wie werte ich jetzt dieses Ergebnis? Wäre super wenn mir jemand helfen kann oder nen Tipp geben kann, wie man sonst an die Aufgabe heran gehen kann.
Liebe Grüße, Wiebke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Mi 20.05.2009 | | Autor: | statler |
Hi Wiebke!
> Und an der nächsten Stelle bin ich nicht ganz sicher, aber
> wenn man jetzt den limes in die Summen und Produkte zieht,
> dann wird doch aus h immer 0 oder? Ich mein man darf den
> limes reinziehen, wenn Stetigkeit vorliegt und sinus und
> cosinus sind ja bekannterweise stetig.
>
> = [mm]\parallel sin(x_1) \cdot cos(x_2)-sin(x_1) \cdot cos(x_2) \parallel \cdot \limes_{\parallel h \parallel\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel}[/mm]
>
> = 0 [mm]\cdot \limes_{\parallel h \parallel\rightarrow 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel}[/mm]
>
> Stimmt das bis hierher?
Nee, so geht das bei Grenzwerten nicht! Das kannst du dir leicht am Beispiel $lim\ [mm] (\frac{1}{x}*x)$ [/mm] verklaren. Du kannst nicht einfach den Bruch vor den Limes ziehen.
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 21.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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