Differenzierbarkeit von Funkt. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf welchen Intervallen sind die folgenden Funktionen f definiert, wo sind sie differenzierbar und wie lautet jeweils ihre Ableitung, falls f gleich ist:
a) [mm] a(x²)^{\bruch{-2}{3}} [/mm] |
Definiert ist die Funktion ja für alle Werte außer x=0. Bei den Ableitungen muss man eine Fallunterscheidung machen für x>0 und x<0:
x>0: f'(x)= [mm] a*\bruch{-2}{3}*x^{\bruch{-5}{3}}
[/mm]
x<0: f'(x)= [mm] a*\bruch{2}{3}*(-x)^{\bruch{-5}{3}}
[/mm]
Wie kann ich die Fragestellung mit der Differenzierbarkeit lösen am Beispiel und im Allgemeinen? Die Definition kenne ich auch, aber das bringt mich nicht so groß weiter.
Wir haben aufgeschrieben: f heisst in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar, wenn es eine Konstante c gibt mit
[mm] f(x)=f(x_{0})+c(x-x_{0})+o(|x-x_{0}|)
[/mm]
wobei p=o(h) [mm] \gdw \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{p}{h}=0
[/mm]
Aber ich geh doch nicht x beliebige Stellen einer Funktion durch bevor ich sie ableite, oder? Wie gehe ich also mit dieser Fragestellung um, gerade wenn sie auch mal in einer Prüfung gestellt wird?
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Faenol |
Hi !
In x=0 ist f ja nicht definiert, also kannst du hier schon mal Diffbarkeit auschließen. Desweiteren weißt du doch, das jede diffbare Funktion stetig ist !
Um aber Diffbarkeit für jedes [mm] x_0 [/mm] zu zeigen (bzw. auch nicht zu zeigen), überprüfst du ganz allgemein:
rechtsseitig:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
[/mm]
und
linksseitig:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0^{-}} \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} bzw.\limes_{h\rightarrow 0^{+}} \bruch{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}
[/mm]
Beide müssen gleich sein, dann ist f diffbar in [mm] x_0.
[/mm]
Vielleicht kannst ja was damit anfangen..
Gruß
Faenôl
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