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| Aufgabe | Sei C eine Cantormenge mit positivem Maß und (a,b) eines der offenen Intervalle welches bei der Konstruktion enternt wurde.
Sei [mm] c=sup\{x|a
[mm] f(x)=\begin{cases} (x-a)^2sin(\bruch{1}{x-a}), & \mbox{für } a
Zeige, dass f differenzierbar ist. |
Hallo zusammen :)
Ich habe ein Buch gelesen wo leider nicht alles erläutert wird, unter anderem wird über dieses Beispiel nur in einem Nebensatz erwähnt, dass f differenzierbar ist.
Allerdings kann ich das nicht wirklich nachvollziehen. Ich hatte mir überlegt:
Man muss f nur in den Punkten x= c und x=b+a-c auf Differenzierbarkeit untersuchen und zwar hab ich das jeweils mit dem links- und rechtsseitigen Grenzwert versucht.
Zum Punkt x=c:
Beim rechtsseitigen Grenzwert geht alles gut:
[mm] \limes_{x\rightarrow c} \bruch{f(x)-f(c)}{x-c} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow c} \bruch{(c-a)^2sin(\bruch{1}{c-a})-(c-a)^2sin(\bruch{1}{c-a})}{x-c} [/mm] = 0
Beim linksseitigen Grenzwert würde ja aber unten im Nenner eine 0 entstehen.
Analog auch im Fall x=b+a-c. Beim linksseitigen Grenzwert funktioniert es aber beim rechtsseitigen nicht.
Welches Argument wurde denn da benutzt?
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Hiho,
vorweg: Was für eine Definition der Cantormenge wurde denn eingeführt?
Die Angabe "Sei C eine Cantormenge mit positivem Maß" ist nämlich irgendwie verwirrend, nach gängigen Definitionen ist eine Cantormenge gerade (auch) dadurch charakterisiert, dass sie eine (Lebesgue-)Nullmenge ist.
(spielt zwar für die Aufgabe keine Rolle, aber macht ja nix)
Zu deiner Aufgabe:
Den rechtsseitigen Grenzwert hast du korrekt erkannt.
Hinter dem linksseitigen steckt auch keine große Zauberei, wenn man folgendes bedenkt:
[mm] $(x-a)^2\sin\left(\bruch{1}{x-a}\right)$ [/mm] ist überall auf dem Definitionsbereich differenzierbar (sogar auf ganz [mm] $\IR$, [/mm] wenn man es in x=a geeignet ergänzt).
Insbesondere aber in x=c
Damit gilt:
[mm] $\left((x-a)^2\sin\left(\bruch{1}{x-a}\right)\right)'\Bigg|_{x=c} [/mm] = [mm] \lim_{x\to c} \bruch{(x-a)^2\sin\left(\bruch{1}{x-a}\right) - (c-a)^2\sin\left(\bruch{1}{c-a}\right)}{x - c}= \lim_{x\nearrow c} \bruch{(x-a)^2\sin\left(\bruch{1}{x-a}\right) - (c-a)^2\sin\left(\bruch{1}{c-a}\right)}{x - c} [/mm] = [mm] \lim_{x\nearrow c} \bruch{f(x) - f(c)}{x - c}$
[/mm]
Und [mm] $\left((x-a)^2\sin\left(\bruch{1}{x-a}\right)\right)'\Bigg|_{x=c}$ [/mm] kennst du, wenn du dir die Definition von c nochmal anschaust.
Gruß,
Gono.
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> Hiho,
>
> vorweg: Was für eine Definition der Cantormenge wurde denn
> eingeführt?
> Die Angabe "Sei C eine Cantormenge mit positivem Maß" ist
> nämlich irgendwie verwirrend, nach gängigen Definitionen
> ist eine Cantormenge gerade (auch) dadurch charakterisiert,
> dass sie eine (Lebesgue-)Nullmenge ist.
> (spielt zwar für die Aufgabe keine Rolle, aber macht ja
> nix)
In dem Buch wurde das leider nie so wirklich definiert, nur erklärt wie man sie konstruiert und einige Eigenschaften der Cantormenge bewiesen.
>
> Zu deiner Aufgabe:
> Den rechtsseitigen Grenzwert hast du korrekt erkannt.
> Hinter dem linksseitigen steckt auch keine große
> Zauberei, wenn man folgendes bedenkt:
>
> [mm](x-a)^2\sin\left(\bruch{1}{x-a}\right)[/mm] ist überall auf dem
> Definitionsbereich differenzierbar (sogar auf ganz [mm]\IR[/mm],
> wenn man es in x=a geeignet ergänzt).
> Insbesondere aber in x=c
>
> Damit gilt:
>
> [mm]\left((x-a)^2\sin\left(\bruch{1}{x-a}\right)\right)'\Bigg|_{x=c} = \lim_{x\to c} \bruch{(x-a)^2\sin\left(\bruch{1}{x-a}\right) - (c-a)^2\sin\left(\bruch{1}{c-a}\right)}{x - c}= \lim_{x\nearrow c} \bruch{(x-a)^2\sin\left(\bruch{1}{x-a}\right) - (c-a)^2\sin\left(\bruch{1}{c-a}\right)}{x - c} = \lim_{x\nearrow c} \bruch{f(x) - f(c)}{x - c}[/mm]
>
>
> Und
> [mm]\left((x-a)^2\sin\left(\bruch{1}{x-a}\right)\right)'\Bigg|_{x=c}[/mm]
> kennst du, wenn du dir die Definition von c nochmal
> anschaust.
Nach Definition von c ist [mm] \left((x-a)^2\sin\left(\bruch{1}{x-a}\right)\right)'\Bigg|_{x=c} [/mm] = 0
Das ist gut, das will man ja haben :)
Und in x=b+a-c geht das genauso?
Ich bin jetzt bei:
[mm] \limes_{x\rightarrow b+a-c} \bruch{f(x)-f(b+a-c)}{x-(b+a-c)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow b+a-c} \bruch{(x-b)^2sin(\bruch{1}{b-x})-(a-c)^2sin(\bruch{1}{c-a})}{x-(b+a-c)}
[/mm]
So, und jetzt?
>
> Gruß,
> Gono.
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Hiho,
> Ich bin jetzt bei:
> [mm]\limes_{x\rightarrow b+a-c} \bruch{f(x)-f(b+a-c)}{x-(b+a-c)}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow b+a-c} \bruch{(x-b)^2sin(\bruch{1}{b-x})-(a-c)^2sin(\bruch{1}{c-a})}{x-(b+a-c)}[/mm]
>
> So, und jetzt?
Na das ist gerade die Ableitung von [mm] $(x-b)^2\sin(\bruch{1}{b-x})$ [/mm] an der Stelle b+a-c
Den Rest schaffst du hoffentlich allein!
Gruß,
Gono.
> >
> > Gruß,
> > Gono.
> >
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