Differenzierbarkeit zeigen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Fr 19.02.2010 | | Autor: | Vicky89 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die
f(x)= x²sin(log(|x|)) falls x [mm] \not= [/mm] 0
0 falls x=0
f: [mm] \IR \to \IR [/mm] differenzierbar ist |
Hallo,
ich bin mir nicht ganz so sicher, wie ich die Differenzierbarkeit nachweise.
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}, x\not=x_0} \bruch{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}
[/mm]
Das muss ich ja irgendwie benutzen. Nur bin ich mir nicht so sich, wie ich jetzt was und wo einsetze. Und was ich dann weiter machen.
Wenn ich das richtige eingesetzt habe und der Limes existiert, heißt es ja, dass es differenzierbar ist, oder?
aber wenn ich x gegen [mm] x_0 [/mm] laufen lasse, und das so einsetze, hebt sich dann nicht sowieso alles automatisch auf?
ich bin ein wenig ratlos und wäre sehr dankbar über hilfe, auch wenn es vielleicht eine (zu) einfache frage ist...
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Fr 19.02.2010 | | Autor: | Vicky89 |
unter dem limes soll natürlich nicht 0 sondern [mm] x_0 [/mm] stehen. und ich meinte nicht, dass ich x gegen [mm] x_0 [/mm] laufen lasse, sondern andersherum ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Fr 19.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Vicky!
Als Komposition stetiger und differenzierbarer (für [mm] $x_0 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ ) Funktionen ist diese Funktion auch für [mm] $x_0 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ stetig und differenzierbar.
Kritisch ist hier also lediglich die Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ , so dass man einzig diese Stelle separat untersuchen muss.
[mm] $$\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-0}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)}{x} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2*\sin\left(\ln|x|\right)}{x} [/mm] \ = \ ...$$
Also ist nun dieser Grenzwert zu bestimmen.
Gruß
Loddar
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