Differenzierbarkeitsgrad < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Mo 10.12.2012 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | In dieser Aufgabe soll die Differenzierbarkeit einer Funktionen untersucht werden.
Berechne den Differenzierbarkeitsgrad von f, d.h. das größte n [mm] \in \IN [/mm] derart, dass f n-mal differenzierbar ist.
[mm] f(x)=\begin{cases} exp (3*x^{-1}), & \mbox{, } x < 0 \mbox{} \\ x^{2}sin(x^{3}+5*\bruch{\pi}{2}, & \mbox{, } x \ge 0 \mbox{} \end{cases} [/mm] |
Hallo,
ich bin mittlerweile am Verzweifeln, was diese Aufgabe angeht und hoffe, dass ihr mir vielleicht weiterhelfen könnt.
Mein Gedanke war, dass der höchste Exponent ausschlaggebend für die Lösung ist.
Das kann wiederum aber nicht sein, da der Sinus ja unendlich oft ableitbar ist.
Aber die Lösung kann ja nicht unendlich sein...?
Wo ist mein Denkfehler und wie geht man an solche Aufgaben heran?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.computerbase.de/forum/showthread.php?t=1145818
http://forum.plexmod.de/wbb/index.php?page=Thread&threadID=3703
Über Hilfe würde ich mich freuen und bedanke mich vorab!
poeddl
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Hallo,
also du hast ja schon richtig festgestellt, dass $ [mm] sin(x^3+c)$ [/mm] für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig oft differenzierbar ist. Ebenso ist [mm] $exp\left(\frac{3}{x}\right)$ [/mm] beliebig oft differenzierbar für jedes $x [mm] \not= [/mm] 0$.
Die einzig interessante Stelle ist bei solchen Aufgaben meistens dort, wo die Funktionsvorschrift wechselt, in diesem Falle also an der Stelle $x=0$.
Untersuche also, ob die Funktion an der Stelle $x=0$ zumindest differenzierbar ist.
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Di 11.12.2012 | | Autor: | poeddl |
> Untersuche also, ob die Funktion an der Stelle [mm]x=0[/mm]
> zumindest differenzierbar ist.
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort!
Wie genau meinst du das?
Die erste Ableitung ist ja [mm] 2x*cos(x^3)-3x^4*sin(x^3)
[/mm]
Setze ich dort nun für x=0 ein, erhalte ich als Ergebnis null.
Bei der Ausgangsgleichung [mm] {f(x)}=x^2*sin(x^3+\bruch{5*\pi}{2}) [/mm] erhalte ich einen Wert ungleich null, wenn ich für x = 0 einsetze.
Heißt dies demnach nun, dass die Lösung der Aufgabe = 1 ist und die Funktion nicht öfter differenzierbar ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Di 11.12.2012 | | Autor: | chrisno |
Die gesamte Funktion muss an der Stelle differenzierbar sein, nicht nur die eine Hälfte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Di 11.12.2012 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
aber ist die Exponentialfunktion nicht immer differenzierbar und darum in diesem Fall vernachlässigbar?
Irgendwie hab ich das Gefühl, ich stehe echt auf dem Schlauch :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Di 11.12.2012 | | Autor: | Walde |
hi poeddl,
um die Diff'barkeit in einem Punkt zu überprüfen, musst du die Definition nachrechen. Also den Grenzwert des Differenzenquotienten von links und rechts überprüfen und kucken ob der jeweils existiert und gleich ist.
Lg walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Fr 14.12.2012 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort.
Auf diese Lösung hätte ich auch kommen können... :D
Möchte ich nun den Limes berechnen für die E-Funktion stosse ich allerdings auf ein Problem. e^(3x^-1) ist für 0 nicht definiert. Oder habe ich gerade einen Denkfehler?
Heisst das demnach nun, dass die Lösung null ist, da die E-Funktion nicht differenzierbar ist, bzw. der Grenzwert nicht existiert?
Gruß
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Hallo poeddl,
> Möchte ich nun den Limes berechnen für die E-Funktion
> stosse ich allerdings auf ein Problem. e^(3x^-1) ist für 0
> nicht definiert. Oder habe ich gerade einen Denkfehler?
Nein, das ist völlig richtig. Genau deswegen sollst du ja einen Grenzwert berechnen. 
> Heisst das demnach nun, dass die Lösung null ist, da die
> E-Funktion nicht differenzierbar ist, bzw. der Grenzwert
> nicht existiert?
Ich sags mal so:
[mm] \lim_{x\to 0^-}3x^{-1}=-\infty, [/mm] daher [mm] \lim_{x\to 0^-}e^{(3x^{-1})}=0
[/mm]
Man könnte auch sagen: da der erste Grenzwert nicht existiert, existiert der zweite. Man kann das sauberer aufschreiben, indem man [mm] u=\bruch{1}{x} [/mm] setzt und dann [mm] u\to -\infty [/mm] laufen lässt.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:12 Sa 15.12.2012 | | Autor: | poeddl |
Gerade war der Abgabetermin für die Aufgabe, für die ich volle Punktzahl bekommen habe.
Die richtige Lösung war tatsächlich 1.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich werde mich sicher noch desöfteren hier melden, ihr seid spitze!
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