Differenzieren < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Do 06.03.2014 | | Autor: | Sim22 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle differenzierbaren Funktionen f mit f′′(x)= 3sinh(2x)+x. |
Hallo zusammen,
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter und frag mich wie ich wirklich weiter kommen soll?
Also ich soll alle differenzierbaren Funktionen finden für die das obige gilt, daher denke ich muss f eine Funktion f(x)=sinh sein, da f'(x)=cosh und f''(x)=sinh wäre. Aber sinh ist auch [mm] \bruch{1}{2}(e^x-e^{-x}).
[/mm]
Geh ich da falsch an die Aufgabe dran oder wie muss ich solch eine Aufgabe anfangen?
Mit freundlichen Grüßen
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Do 06.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Bestimmen Sie alle differenzierbaren
die müssen schon zweimal diff'bar sein!
> Funktionen f mit
> f′′(x)= 3sinh(2x)+x.
Beachte: Das Ding rechterhand ist sicher stetig!
> Hallo zusammen,
> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter und frag mich
> wie ich wirklich weiter kommen soll?
Integriere zweimal. Natürlich kannst Du
$\sinh(2x)=\frac{\exp(2x)-\exp(-2x)}{2}$
verwenden (musst Du aber nicht, wenn Du das, was Du über den $\sinh$ bzw.
den $\cosh$ erwähnt hast, ja benutzen kannst/darfst).
Ich mach' Dir aber mal eine andere Aufgabe vor: Wir wollen alle (zweimal!)
differenzierbaren Funktionen $f\,$ mit
$f''(x)=2x$
finden:
1. $\int f''(x)dx=\int 2xdx=x^2+C_1$
2. $\int (x^2+C_1)dx=\frac{1}{3}x^3+C_1x+C_2$
mit Konstanten (=konstante Funktionen) $C_1$ und $C_2\,.$
P.S. Das Symbol
$\int f(x)dx$
kann sowohl für die Klasse aller Stammfunktionen als auch für einen
Repräsentanten dieser Klasse stehen. Und man schreibt zwar bspw.
$\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\,,$
aber eigentlich meint man:
$\int x^2dx=F$
mit $F(s):=\frac{1}{3}s^3+C\,.$ Anders notiert:
$\left(\int x^2dx\right)(t)=\left.\frac{1}{3}s^3+C\right|_{s=t}$
für einen (nicht konkret - siehe Parameter $C\,$!) gewählten Repräsentanten
der obigen Äquivalenzklasse. Manchmal wird das auch so geschrieben (die
geschweiften Klammern haben NICHT die Bedeutung einer Mengenklammer,
sondern sie sollen nur 'alles umfassen'):
$\int x^2dx=\left.\left\{D \ni s \mapsto \frac{1}{3}s^3+C \in \IR\right\}\right|_{s=t}$
wobei $D \ni x \mapsto x^2 \in \IR$ die Ausgangsfunktion war. Dabei ist der
Terminus
$\left.\left\{D \ni s \mapsto \frac{1}{3}s^3+C \in \IR\right\}\right|_{s=t}$
zu lesen als:
Wir werten die Funktion
$D \ni s \mapsto \frac{1}{3}s^3+C \in \IR$
aus an der Stelle $s=t\,.$
(Das kennst Du: Wenn
$g \colon D \ni s \mapsto g(s) \in \IR,$
dann bedeutet das nichts anderes als $g(t)\,.$)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Do 06.03.2014 | | Autor: | Sim22 |
Super! Vielen Dank für deine Erklärung!
Auf meine Aufgabe bezogen habe ich nun:
[mm] \bruch{3}{4}sinh(2x)*\bruch{1}{6}x^3+C_{1}x+C_{2}
[/mm]
Ich hoffe ich hab mich nicht verrechnet.
Danke nochmals!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Do 06.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Super! Vielen Dank für deine Erklärung!
>
> Auf meine Aufgabe bezogen habe ich nun:
> [mm]\bruch{3}{4}sinh(2x)*\bruch{1}{6}x^3+C_{1}x+C_{2}[/mm]
das erste [mm] $*\,$-Zeichen [/mm] soll aber ein [mm] $+\,$ [/mm] sein, oder?
> Ich hoffe ich hab mich nicht verrechnet.
Naja, ich sag's mal so: Das kann man schnell kontrolieren. Dass
[mm] $\int xdx=\frac{1}{2}x^2+{\tilde C}_1$
[/mm]
und
[mm] $\int (x^2/2+{\tilde C}_1)dx=\frac{1}{6}x^3+{\tilde C}_1x+{\tilde C}_2$
[/mm]
ist, ist ja klar.
Und
[mm] $\int 3\sinh(2x)dx=\frac{3}{2}\cosh(2x)+{\tilde C}_3$
[/mm]
sowie
[mm] $3\int (\cosh(2x)/2+{\tilde C}_3x)dx=\frac{3\sinh(2x)}{4}+{\tilde C}_3x+{\tilde C}_4$
[/mm]
folgt dann auch. Und mit
[mm] $C_1:={\tilde C}_1+{\tilde C}_3$ [/mm] sowie [mm] $C_2:={\tilde C}_2+{\tilde C}_4$
[/mm]
folgt dann Dein Ergebnis.
Auch, wenn man so vielleicht nicht ganz direkt sieht, ob man nun "alle"
Lösungen erfasst hat, aber:
Testweise kannst Du ja auch mal Dein Ergebnis zweimal differenzieren!
> Danke nochmals!
Gerne! 
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
