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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Do 06.10.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...ich hab da ein paar Fragen zur Quotientenregel:
Bsp.:
$( [mm] \bruch{sin(x)}{cos(x)})'$ [/mm] = $ [mm] \bruch{cos(x)*cos(x) + sin(x)*sin(x)}{(cos(x))²}$
[/mm]
= $ [mm] \bruch{1}{(cos(x))²}$
[/mm]
Mir ist hierbei alles klar bis auf die Tatsache dass cos(x)*cos(x) + sin(x)*sin(x) = 1 wird. Wird cos(x)*cos(x) = 1 und sin(x)*sin(x) = 0 oder
umgekehrt? Oder ganz was anderes?
Bsp.:
$( [mm] \bruch{cos(x^{3})}{e^{x²}})' [/mm] = ( [mm] \bruch{-3x²*sin(x^{3})*e^{x²} - e^{x²}*2x*cos}{e^{2x²}})'$
[/mm]
Was ich hierbei nicht kapiere ist der Nenner und zwar [mm] e^{x²}*2x*cos
[/mm]
Gehört da nicht richtigerweise$ [mm] e^{x²}*cos(x^{3})$ [/mm] laut der Regel?
mfg,
Hannes
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Hallo Hannes!
> Bsp.:
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> [mm]( \bruch{sin(x)}{cos(x)})'[/mm] = [mm]\bruch{cos(x)*cos(x) + sin(x)*sin(x)}{(cos(x))²}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{(cos(x))²}[/mm]
>
> Mir ist hierbei alles klar bis auf die Tatsache dass
> cos(x)*cos(x) + sin(x)*sin(x) = 1 wird. Wird cos(x)*cos(x)
> = 1 und sin(x)*sin(x) = 0 oder
> umgekehrt? Oder ganz was anderes?
Ganz was anderes.  Das ist der "trigonometrische Pythagoras" (dass es so heißt, habe ich aber auch erst gerade festgestellt.  ). Es gilt einfach [mm] \sin^2+\cos^2=1 [/mm] - das sollte man sich merken. Ich glaube, man kann es nachrechnen, wenn man die "Definition" von [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos [/mm] über die e-Funktion nimmt. Aber ich glaube, das brauchst du nicht (da kommen komplexe Zahlen bei vor). ![[]](/images/popup.gif) Hier kannst du die Formel übrigens nochmal lesen, falls du mir nicht glaubst.
> Bsp.:
>
> [mm]( \bruch{cos(x^{3})}{e^{x²}})' = ( \bruch{-3x²*sin(x^{3})*e^{x²} - e^{x²}*2x*cos}{e^{2x²}})'[/mm]
Du hast da im Zähler am Ende das Argument vom [mm] \cos [/mm] vergessen...
> Was ich hierbei nicht kapiere ist der Nenner und zwar
> [mm]e^{x²}*2x*cos[/mm]
>
> Gehört da nicht richtigerweise[mm] e^{x²}*cos(x^{3})[/mm] laut der
> Regel?
Nein, also eigentlich gehört da hin: [mm] (e^{x^2})^2 [/mm] nach der Regel (nämlich einfach der Nenner zum Quadrat, ne? ). Nach den Potenzregeln ist das aber das Gleiche, wie [mm] e^{2x^2}, [/mm] denn z. B. [mm] (5^{x})^2=5^{2x} [/mm] (ich weiß gerade nicht, wie diese Regel heißt, deswegen das Beispiel). (Es ist übrigens die vorletzte der Rechenregeln hier.)
Aber in einer Klausur müsste es eigentlich auch reichen, wenn du [mm] (e^{x^2})^2 [/mm] hinschreibst.
Ist dann alles klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Hannes,
Diesen "trigonometrischen Pythagoras" kann man sich sehr einfach herleiten. Man benötigt dazu aber den Satz von Pythagoras. Betrachte dir dazu folgendes rechtwinklige Dreieck:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es gilt:
[mm] $\sin \alpha [/mm] = [mm] \frac{a}{c} \gdw [/mm] a = c [mm] \sin \alpha \land \cos \alpha [/mm] = [mm] \frac{b}{c} \gdw [/mm] b = c [mm] \cos \alpha$. [/mm] Nach dem Satz von Pythagoras gilt:
[mm] $c^2 \sin^2 \alpha [/mm] + [mm] c^2 \cos^2 \alpha [/mm] = [mm] c^2$
[/mm]
Teile auf beiden Seiten durch [mm] $c^2$ [/mm] und Du erhälst diese Beziehung.
Grüße
Karl
[P.S. Eine tolle Seite zu vielen Beweisen des Satzes von Pythagoras findest Du hier.]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Do 06.10.2005 | | Autor: | Sigrid |
> Hallo...ich hab da ein paar Fragen zur Quotientenregel:
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> Bsp.:
>
> [mm]( \bruch{sin(x)}{cos(x)})'[/mm] = [mm]\bruch{cos(x)*cos(x) + sin(x)*sin(x)}{(cos(x))²}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{(cos(x))²}[/mm]
>
> Mir ist hierbei alles klar bis auf die Tatsache dass
> cos(x)*cos(x) + sin(x)*sin(x) = 1 wird. Wird cos(x)*cos(x)
> = 1 und sin(x)*sin(x) = 0 oder
> umgekehrt? Oder ganz was anderes?
>
> Bsp.:
>
> [mm]( \bruch{cos(x^{3})}{e^{x²}})' = ( \bruch{-3x²*sin(x^{3})*e^{x²} - e^{x²}*2x*cos}{e^{2x²}})'[/mm]
>
> Was ich hierbei nicht kapiere ist der Nenner und zwar
> [mm]e^{x²}*2x*cos[/mm]
Du meinst hier wohl den 2. Teil des Zählers. Der ist i.w. richtig. Allerdings fehlt hier beim cos das Argument. Es heißt also:
[mm]( \bruch{cos(x^{3})}{e^{x^2}})' = \bruch{-3x^2*\sin(x^{3})*e^{x^2} - e^{x^2}*2x*\cos(x^3)}{e^{2x^2}}[/mm]
Den Faktor 2x brauchst du, das ist ja die innere Ableitung von [mm] e^{x^2}
[/mm]
Gruß
Sigrid
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> Gehört da nicht richtigerweise[mm] e^{x²}*cos(x^{3})[/mm] laut der
> Regel?
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> mfg,
> Hannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Do 06.10.2005 | | Autor: | Reaper |
Danke für die ausführlichen Antworten
mfg,
Hannes
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