Differenzieren einer Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 So 09.11.2008 | | Autor: | Yasko |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{1}{x+h}-\bruch{1}{x}}{h} [/mm] |
Diese Fuktion soll ich per hand differenzieren, ich meine es auch zu können aber mein Kopf ist gerade so voll, ich komm und komm nicht drauf...
Der Differentialquotient ist ja [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
Also in meinem Falle: [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{1}{x+h}-\bruch{1}{x}}{h}
[/mm]
wie kann ich nun [mm] \bruch{1}{x+h} [/mm] so per hand umformen, dass ich brauchbar mit der funktion rechnen kann und da am ende [mm] \bruch{-2}{x²} [/mm] rauskommt wenn alle anderen werte die mit h multipliziert werden ja gegen 0 gehen, bitte um Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
PS: Ich hoffe ich habe nichts falsches gemacht, ich meine diese Frage bereits gestellt zu haben, jedoch finde ich sie nicht (ich komme noch nicht richtig mit dieser Seite zurecht), bitte nicht böse sein, falls sie doppelt vorhanden sein sollte.
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> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{1}{x+h}-\bruch{1}{x}}{h}[/mm]
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> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{1}{x+h}-\bruch{1}{x}}{h}[/mm]
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> Diese Fuktion soll ich per hand differenzieren, ich meine
> es auch zu können aber mein Kopf ist gerade so voll, ich
> komm und komm nicht drauf...
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> Der Differentialquotient ist ja [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
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> Also in meinem Falle: [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{1}{x+h}-\bruch{1}{x}}{h}[/mm]
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> wie kann ich nun [mm]\bruch{1}{x+h}[/mm] so per hand umformen, dass
> ich brauchbar mit der funktion rechnen kann und da am ende
> [mm]\bruch{-2}{x²}[/mm] rauskommt wenn alle anderen werte die mit h
> multipliziert werden ja gegen 0 gehen, bitte um Hilfe.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> PS: Ich hoffe ich habe nichts falsches gemacht, ich meine
> diese Frage bereits gestellt zu haben, jedoch finde ich sie
> nicht (ich komme noch nicht richtig mit dieser Seite
> zurecht), bitte nicht böse sein, falls sie doppelt
> vorhanden sein sollte.
Erst einmal zum Ergebnis, es muss [mm] -\bruch{1}{x^2} [/mm] rauskommen, denn es gilt $ [mm] (x^{-1})'=-1*x^{-2} [/mm] $
Dann zum Bruch :) :
$ [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{1}{x+h}-\bruch{1}{x}}{h}=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{x}{(x+h)*x}-\bruch{x+h}{x*(x+h)}}{h}=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{x-x-h}{(x+h)*x}}{h}=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{-h}{(x+h)*x}}{h}=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{-h}{h*(x+h)*x}=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{-1}{(x+h)*x}=\bruch{-1}{x*x} [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 So 09.11.2008 | | Autor: | Yasko |
Danke für die Lösung, was Brüche angeht bin ich manchmal noch etwas unflexibel, ich hab es zwar versucht mit erweitern aber auf den selben nenner bringen, daran hab ich nicht gedacht, vielen Dank! :) Vielleicht komme ich später noch einmal auf deine bzw eure Hilfe zurück mit anderen (komplizierteren) Funktionen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 So 09.11.2008 | | Autor: | Yasko |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{\wurzel{(1+2(x+h))}-\wurzel{1+2x}}{h} [/mm] |
Bei einer weiteren Funktion hab ich dasselbe problem, bitte wäre wer so nett mir hier den kniff zu erklären?
Ich habe hier die dritte binomische FOrmel angewandt, sodass sich die Wurzel aufhebt (durch erweitern mit den Wurzeltermen nur ein + dazwischen
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{(\wurzel{(1+2(x+h))}-\wurzel{1+2x})*(\wurzel{1+2(x+h)}+\wurzel{1+2x})}{h*(\wurzel{1+2(x+h)}+\wurzel{1+2x})}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{(1+2(x+h))-(1+2x)}{h*(\wurzel{1+2(x+h)}+\wurzel{1+2x})}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{(1+2x+2h)-1-2x}{h*(\wurzel{1+2(x+h)}+\wurzel{1+2x})}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{+2h}{h*(\wurzel{1+2(x+h)}+\wurzel{1+2x})}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{+2}{\wurzel{1+2(x+h)}+\wurzel{1+2x})}=\bruch{+2}{\wurzel{1+2x}+\wurzel{1+2x}}=\bruch{2}{2*\wurzel{1+2x}}=\bruch{1}{\wurzel{1+2x}}
[/mm]
Das Problem ist, die 2 im Zähler sollte ne 1 sein laut taschenrechner, wo ist mein Fehler?
//EDIT: Wie oben schon in der Rechnung zu ersehen ist, ich bin selbst drauf gekommen, schön doof wenn man nicht genau hinschaut, danke an alle leser :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Yasko |
Vielen lieben Dank für deine Hilfe, wirklich klasse wie hilfsbereit hier alle sind :)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
das ist genau die richtige Idee, du hast auch alles weitere richtig gerechnet, erst im allerletzten Schritt wird's falsch
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
