Differenzieren eines Integrals < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Sa 23.07.2016 | | Autor: | gr5959 |
| Aufgabe | | d/dx [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt}= [/mm] f(x) Warum? |
Allgemein leuchtet mir ein, dass die Ableitung eines bestimmten Integrals auf die ursprüngliche Funktion zurückführt. Warum aber f(x), wenn im Integral selbst f(t) erscheint und x nur die obere Begrenzung ist?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Sa 23.07.2016 | | Autor: | phifre |
Vorraussetzen musst du, dass $f(x)$ stetig ist. Dann
definiere
$$ F(x) = [mm] \int_{a}^{x}f(t)dt [/mm] $$
Dann ist
$$ F'(x) = [mm] \lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} [/mm] $$
Da
$$ F(x+h)-F(x) = [mm] \int_{a}^{x+h}f(t)dt [/mm] - [mm] \int_{a}^{x}f(t)dt [/mm] = [mm] \int_{x}^{x+h}f(t)dt [/mm] $$
gibt es nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ein [mm] $t^\ast$ [/mm] zwischen $x$ und $x+h$ mit
$$ F(x+h)-F(x) = [mm] \int_{x}^{x+h}f(t)dt [/mm] = [mm] h\cdot f(t^\ast) [/mm] $$
Also
$$ F'(x) = [mm] \lim_{h\to0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to0} f(t^\ast)$$
[/mm]
Da [mm] $t^\ast$ [/mm] zwischen $x$ und $x+h$ liegt, gilt für [mm] $h\to0$ [/mm] gerade [mm] $t^\ast\to [/mm] x$, somit
$$ F'(x) = [mm] \lim_{h\to0} f(t^\ast) [/mm] = f(x)$$
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 So 24.07.2016 | | Autor: | gr5959 |
| Aufgabe | | [mm] d/dx\integral_{1}^{x^2}{cos(t) dt} [/mm] |
Danke! Ich glaubte schon, es begriffen zu haben, aber scheiterte dann gleich an der nächsten Aufgabe:
[mm] d/dx\integral_{1}^{x^2}{cos(t) dt}
[/mm]
Der Hinweis, bei der Lösung müsste die Kettenregel angewandt werden, half mir nicht weiter. Wie genau also löst man diese Aufgabe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:36 So 24.07.2016 | | Autor: | phifre |
Durch Substitution!
Ihr hattet bestimmt eine Regel zur "Integration durch Substitution"?
Wie lautet die?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:21 So 24.07.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Durch Substitution!
>
> Ihr hattet bestimmt eine Regel zur "Integration durch
> Substitution"?
> Wie lautet die?
na da bin ich jetzt aber gespannt, wie du das mit Substitution lösen willst…
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 22:51 So 24.07.2016 | | Autor: | phifre |
Die Regel für Substitution ist doch
[mm] $$\int_{a}^{b}f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)dt [/mm] = [mm] \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)dx.$$
[/mm]
Im Fall der Aufgabe ist nun [mm] $$\varphi(a)=1,\quad\varphi(b)=x^2 \quad \text{und}\quad f(x)=\cos(x)$$
[/mm]
Also [mm] $$\varphi(x) [/mm] = [mm] x^2 \qquad \text{mit} \quad [/mm] a=1 [mm] \text{ und } [/mm] b=x$$
Dann schreibt sich die linke Seite von obiger Gleichung als
$$ [mm] \int_a^b f(\varphi(t))\cdot\varphi'(t) [/mm] dt = [mm] \int_1^x \cos(t^2)\cdot \big(t^2\big)'dt [/mm] = [mm] \int_1^x 2t\cdot\cos(t) [/mm] dt$$
Hab ich mich irgendwo vertan? Das Ergebnis ist doch sicherlich richtig.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 23:34 So 24.07.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
in dem Fall funktioniert das sogar… finde die Lösung sehr kreativ 
Aber bereits wenn das Integral nicht [mm] $\int_1^{x^2}$ [/mm] lautet sondern [mm] $\int_{-1}^{x^2}$ [/mm] wird es schwieriger das [mm] $\varphi$ [/mm] zu bestimmen (auch wenn man genau genommen durch einfaches Umformen dein [mm] \varphi [/mm] verwenden könnte)
Natürlich bekommt man das gefixt, ist aber doch deutlich aufwändiger als der Weg über die sowieso geforderte Kettenregel durchzuführen.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Hiho,
> [mm]d/dx\integral_{1}^{x^2}{cos(t) dt}[/mm]
> Der Hinweis, bei der
> Lösung müsste die Kettenregel angewandt werden, half mir
> nicht weiter. Wie genau also löst man diese Aufgabe?
Wie lautet denn die Kettenregel?
Es ist: [mm] $\integral_{1}^{x^2}{cos(t) dt} [/mm] = F(g(x))$ für $F(x) = [mm] \integral_{1}^{x}{cos(t) dt}$ [/mm] und $g(x) = [mm] x^2$
[/mm]
Jetzt kannst du die Kettenregel leicht anwenden.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Mo 25.07.2016 | | Autor: | gr5959 |
Danach wäre also die richtige Lösung -sin(x)*2x? GR
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Mo 25.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Danach wäre also die richtige Lösung -sin(x)*2x? GR
Nein. Richtig ist
[mm] $2x*\cos(x)$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mo 25.07.2016 | | Autor: | gr5959 |
Warum ist hier die Ableitung von cos(t)= cos (x)? G.R.
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Warum ist hier die Ableitung von cos(t)= cos (x)? G.R.
Ist es nicht. Aber die Ableitung von [mm] $\int_1^x \cos(t) [/mm] dt$ ist [mm] $\cos(x)$
[/mm]
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Di 26.07.2016 | | Autor: | gr5959 |
Du schriebst: "Jetzt kannst du die Kettenregel leicht anwenden." Ich glaubte, sie anwenden zu können, aber die Kenntnisse und/oder Fähigkeiten eines Autodidakten reichen nun doch nicht aus, um das letzte Ergebnis nachvollziehen zu können. Ob du noch so viel Geduld aufbringen kannst, mir zu erklären, mit welchen Schritten du zu diesem Ergebnis kommst? Ich wäre dafür sehr dankbar. GR
|
|
|
| |
|
Hiho,
na was sagst denn die Kettenregel aus???
Hinschreiben und einsetzen!
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mi 27.07.2016 | | Autor: | gr5959 |
Ich fürchte, ich muss es drangeben. Meine Wissbegierde ist umgeschlagen in Beschämung darüber, wie dick das Brett vor meinem Kopf ist. Danke jedenfalls für deine Mühe. GR
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Fr 29.07.2016 | | Autor: | gr5959 |
Ich wende die Kettenregel an:
F(x) [mm] =\integral_{1}^{x^2}{f(t) dt} [/mm] und g(x) = [mm] x^2
[/mm]
Nach Anwendung der Kettenregel soll herauskommen 2x cos(x). Also müsste die Ableitung [mm] von\integral_{1}^{x^2}{f(t) dt} [/mm] = cos (x) sein. Das ist mein Problem. Wer kann mir die Rechenschritte erklären, die zu diesem Ergebnis führen? G.R.
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Ich wende die Kettenregel an:
> F(x) [mm]=\integral_{1}^{x^2}{f(t) dt}[/mm] und g(x) = [mm]x^2[/mm]
>
Nein!
Es ist $ F(x) = [mm] \integral_{1}^{x}{cos(t) dt} [/mm] $
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Fr 29.07.2016 | | Autor: | Calculu |
Du hast aber noch das Quadrat vergessen.
Die Lösung muss lauten 2x* cos( [mm] x^{2} [/mm] ).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Sa 30.07.2016 | | Autor: | gr5959 |
Danke für die Korrektur dieses Irrtums! Doch nach all dem Hin und Her kann ich die Frage immer noch nicht beantworten, welche Rechenschritte in dem Gleichheitszeichen stecken, auch wenn ich darauf hingewiesen werde, dass hier die Kettenregel anzuwenden sei:
[mm] d/dx\integral_{1}^{x^2}{f(t) dt} [/mm] = [mm] 2xcos(x^2)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Sa 30.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Korrektur dieses Irrtums! Doch nach all dem
> Hin und Her kann ich die Frage immer noch nicht
> beantworten, welche Rechenschritte in dem
> Gleichheitszeichen stecken, auch wenn ich darauf
> hingewiesen werde, dass hier die Kettenregel anzuwenden
> sei:
>
> [mm]d/dx\integral_{1}^{x^2}{f(t) dt}[/mm] = [mm]2xcos(x^2)[/mm]
Auch ich hab mich vertan.
Sei [mm] g(x):=\integral_{0}^{x}{cos(t) dt}
[/mm]
Dann ist g eine Stammfunktion von cos(x). Das ist der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung.
Nun sei [mm] G(x):=\integral_{0}^{x^2}{cos(t) dt}, [/mm] also
[mm] G(x)=g(x^2).
[/mm]
Nach der Kettenregel ist
[mm] G'(x)=g'(x^2)*2x [/mm] = [mm] cos(x^2)*2x
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:56 Sa 30.07.2016 | | Autor: | gr5959 |
Inzwischen habe ich aus deinen Hilfen versucht, mir eine Lösung zurechtzulegen, die ich als pdf hochlade. Ich bin gespannt auf deinen Kommentar! G.R.
[img] [url=1]
![[]](/images/popup.gif) Link-Text
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Sa 30.07.2016 | | Autor: | gr5959 |
Ich sehe, dass Hochladen im Augenblick nicht möglich ist, versuche also, die Datei so zu übertragen:
l
Ich lege mir die Lösung folgendermaßen zurecht. Die Aufgabe ist, das Integral cos (t) dt zwischen 1 und [mm] x^2 [/mm] zu differenzieren, also rückgängig zu machen: F'(x) = f(x).
Zunächst wende ich den Fundamentalsatz der Integration an:
[mm] \integral_{1}^{x^2}{cos(t) dt} [/mm] = [mm] F(x^2)-F(1)
[/mm]
Die Stammfunktion von cos ist sin:
= sin [mm] (x^2) [/mm] - sin (1)
Nun die Ableitung d/dx.
Sie ergibt nach der Kettenregel [mm] cos(x^2)2x [/mm] - 0 (denn sin(1) ist eine Konstante, deren Ableitung 0 ist)
Das Ergebnis ist also cos [mm] (x^2)2x
[/mm]
Wo stecken hier Denk- oder Rechenfehler? G.R.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Sa 30.07.2016 | | Autor: | hippias |
Du hast alles richtig gerechnet. Wo ist das Problem? Falls Du [mm] $\cos(x)$ [/mm] als Ergebnis erwartet hast, dann bedenke, dass die obere Grenze [mm] $x^{2}$ [/mm] und nicht $x$ ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Sa 30.07.2016 | | Autor: | gr5959 |
Das Problem besteht nicht mehr, denn ich habe es gelöst, wie du mir eben bestätigt hast. Danke! GR
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Sa 23.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> d/dx [mm]\integral_{a}^{x}{f(t) dt}=[/mm] f(x) Warum?
> Allgemein leuchtet mir ein, dass die Ableitung eines
> bestimmten Integrals auf die ursprüngliche Funktion
> zurückführt. Warum aber f(x), wenn im Integral selbst
> f(t) erscheint und x nur die obere Begrenzung ist?
Das nennt man den Hauptsatz der differential- und Integralrechnung
fred
|
|
|
|
