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| Aufgabe | Seien M und N sind Teilmengen einer Menge L. Zeigen Sie, dass
L \ ( M [mm] \cup [/mm] N ) = ( L \ M ) [mm] \cap [/mm] ( L \ N)
und
L \ ( M [mm] \cap [/mm] N ) = ( L \ M ) [mm] \cup [/mm] ( L \ N)
gelten. |
Hallo,
Wir hatten bisher noch kein Beispiel zum Beweis einer Differenzmenge, deshalb komme ich an dem Punkt gerade nicht weiter.
Ich weiß, dass
[mm]\ x\in (L\backslash{M})\quad\gdw\quad x\in L\ \wedge\ x\notin M[/mm]
und
[mm]\ x\in (L\backslash{M})\cup(L\backslash{N})\quad\gdw\quad (x\in L\ \wedge\ x\notin M)\ \vee\ (x\in L\ \wedge\ x\notin N)[/mm]
gilt. Nur wie ich weiter machen muss, weiß ich nicht.
Viele Grüße
schmidti91
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 So 23.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Seien M und N sind Teilmengen einer Menge L. Zeigen Sie,
> dass
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> L \ ( M [mm]\cup[/mm] N ) = ( L \ M ) [mm]\cap[/mm] ( L \ N)
> und
> L \ ( M [mm]\cap[/mm] N ) = ( L \ M ) [mm]\cup[/mm] ( L \ N)
>
> gelten.
> Hallo,
>
> Wir hatten bisher noch kein Beispiel zum Beweis einer
> Differenzmenge, deshalb komme ich an dem Punkt gerade nicht
> weiter.
>
> Ich weiß, dass
>
> [mm]\ x\in (L\backslash{M})\quad\gdw\quad x\in L\ \wedge\ x\notin M[/mm]
>
> und
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> [mm]\ x\in (L\backslash{M})\cup(L\backslash{N})\quad\gdw\quad (x\in L\ \wedge\ x\notin M)\ \vee\ (x\in L\ \wedge\ x\notin N)[/mm]
>
> gilt. Nur wie ich weiter machen muss, weiß ich nicht.
>
> Viele Grüße
> schmidti91
Hallo,
der Term ( L \ M ) [mm]\cap[/mm] ( L \ N) lässt sich schreiben als
[mm] (x\in [/mm] L [mm] \wedge x\notin M)\wedge\ (x\in [/mm] L [mm] \wedge x\notin [/mm] N)
Die Klammern kannst du weglassen, etwas umsortieren, statt
[mm] x\in [/mm] L [mm] \wedge x\in [/mm] L einfach nur [mm] x\in [/mm] L schreiben und dahinter wieder eine Klammer setzen. Es entsteht [mm] x\in [/mm] L [mm] \wedge (x\notin [/mm] M [mm] \wedge x\notin [/mm] N).
Jetzt mit DeMorgan auf die Klammer draufhauen...
Gruß Abakus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ist meine Lösung für den Beweis von
L \ ( M [mm]\cap[/mm] N ) = ( L \ M ) [mm]\cup[/mm] ( L \ N)
richtig?
Sei x [mm] \in [/mm] (L \ M ) [mm]\cup[/mm] ( L \ N)
[mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] L [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] M) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] L [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] N)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] L [mm] \vee [/mm] (x [mm] \not\in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] N)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] L [mm] \vee [/mm] (x [mm] \not\in [/mm] M [mm] \cap [/mm] L)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] L \ (M [mm] \cap [/mm] L)
Wenn ich weiß, ob das richtig ist, weiß ich, ob ich das Prinzip verstanden habe. Es wäre nett, wenn mir das jemand beantworten könnte.
Ich bin mit dem logischen [mm] \vee [/mm] und [mm] \wedge [/mm] noch nicht so vertraut. Verlangt [mm] \cup [/mm] immer ein [mm] \vee [/mm] und umgekehrt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 So 23.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Ist meine Lösung für den Beweis von
> L \ ( M [mm]\cap[/mm] N ) = ( L \ M ) [mm]\cup[/mm] ( L \ N)
> richtig?
>
> Sei x [mm]\in[/mm] (L \ M ) [mm]\cup[/mm] ( L \ N)
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] L [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] M) [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] L
> [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] N)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] L [mm]\vee[/mm] (x [mm]\not\in[/mm] M [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] N)
Diese Zeile ist falsch. So funktioniert das Distributivgesetz nicht. Du musst deine Zeichen [mm] \vee [/mm] und [mm] \wedge [/mm] vertauschen.
Gruß Abakus
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] L [mm]\vee[/mm] (x [mm]\not\in[/mm] M [mm]\cap[/mm] L)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] L \ (M [mm]\cap[/mm] L)
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> Wenn ich weiß, ob das richtig ist, weiß ich, ob ich das
> Prinzip verstanden habe. Es wäre nett, wenn mir das jemand
> beantworten könnte.
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> Ich bin mit dem logischen [mm]\vee[/mm] und [mm]\wedge[/mm] noch nicht so
> vertraut. Verlangt [mm]\cup[/mm] immer ein [mm]\vee[/mm] und umgekehrt?
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