Diffgleichung 2.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:10 Mo 09.11.2009 | | Autor: | julsch |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Differentialgleichung 2. Ordnung der Form
q´´(t)=-grad V(q(t))
für q: I --> U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] , wobei das "Potential" V: U --> [mm] \IR [/mm] stetig differenzierbar sei.
(a) Formulieren Sie das Problem in ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung in den Variablen q und p=q´ um.
(b) zeigen Sie, dass die "Gesamtenergie" H(q,p)= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] <p,p> + V(q) des Systems konstant ist längs jeder Integralkurve
t--> (q(t), p(t)) [mm] \in [/mm] U x [mm] \IR^{n}.
[/mm]
(c) Sei nun speziell U = [mm] \IR [/mm] und [mm] v(q)=kq^{2} [/mm] mit k >0 konstant. Bestimmen Sie für diesen Fall explizit die Lösung der Differentialgleichung q´´(t)= -grad V(q(t)) mit Anfangsbedingung q(0)=1 und q´(0)=0. |
Hallo!
Sitze gerade über Aufgabenteil (c), weiß jedoch nicht, wie ich weiter machen muss. Schreibe eben auf, was ich bei den anderen Aufgaben raus habe. Vielleicht könnte es ja einer überprüfen.
(a)Sei q(t)=q(t) und p(t)=q´(t).
q´(t)=p(t)
p´(t)=q´´(t)= -grad V(q(t))
Daraus bekomme ich die Diffgleichung:
[mm] \vektor{q´(t)\\p´(t)} [/mm] 0 [mm] \vektor{p(t) \\ -grad V(q(t))}
[/mm]
(b)
Integralkurve: t --> [mm] (q(t),p(t))=(\integral{}^{}{p(t)dt} [/mm] , [mm] \integral{}^{}{-grad V(q(t))dt}) [/mm] = (q(t) , [mm] \integral{}^{}{-grad V(q(t))dt})
[/mm]
=(q(t), -V(q(t)) )
H(q(t), p(t))
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] *<-V(q(t)), -V(q(t)) > + V(q(t))
= [mm] \bruch{1}{2}*2*(-V(q(t)) [/mm] ) +V(q(t))
=0
(c) Hier habe ich mir schon überlegt, dass
q´´(t)= [mm] -grad(kq^{2}(t))
[/mm]
[mm] \bruch{d^{2}q}{d^{2}t}=-grad(k*q^{2})
[/mm]
[mm] \bruch{d^{2}q}{d^{2}t}= [/mm] -k*2q*q'
[mm] d^{2}q=-2k*q*q'*d^{2}t
[/mm]
[mm] \bruch{d^{2}q}{q*q'}= -2k*d^{2}t
[/mm]
Wenn das so richtig sein sollte, wie muss ich dann weitermachen.
Vielen Dank schonmal für die Hilfe.
LG Julsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Di 10.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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