Dim des Kern einer lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche Dimension hat der Kern der linearen Abbildung
[2 3 0 1 0 ]
[0 0 0 2 -2] = A
[0 0 0 0 0 ]
A: R5->R3
_ _
x -> Ax ? |
Hallo Liebe Leute,
Ich weiß nicht ob ich diese Aufgabe nun richtig verstanden habe...
Ich würde sagen die Dimension ist 5, weil der Kern im R5 ist...
Ist das korrekt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo xe_sphinx und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Welche Dimension hat der Kern der linearen Abbildung
>
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> [2 3 0 1 0 ]
> [0 0 0 2 -2] = A
> [0 0 0 0 0 ]
>
> A: R5->R3
> _ _
> x -> Ax ?
> Hallo Liebe Leute,
>
>
> Ich weiß nicht ob ich diese Aufgabe nun richtig verstanden
> habe...
> Ich würde sagen die Dimension ist 5, weil der Kern im R5
> ist...
Nein, es stimmt, dass der Kern der Abbildung ein Unterraum des [mm] $\IR^5$ [/mm] ist, seine Dimension ist die Anzahl der Basisvektoren.
Wenn die 5 wäre, wäre der Kern der gesamte [mm] $\IR^5$, [/mm] das heißt, jeder Vektor aus dem [mm] $\IR^5$ [/mm] würde auf den Nullvektor des [mm] $\IR^3$ [/mm] abgebildet, das passt nicht
Die Darstellungmatrix dieser Abbildung wäre die Nullmatrix ...
Die Dimension des Kernes ist die Anzahl der Basisvektoren, die ihn aufspannen
Bestimme also mal die Lösungsmenge/-gesamtheit von [mm] $A\vec{x}=\vec{0}$
[/mm]
Diese Lösungsmenge ist genau der Kern der durch A beschriebenen linearen Abbildung.
Noch ein Kontrolltipp: der Kern ist ein dreidimensionaler Unterraum des [mm] $\IR^5$ [/mm] ...
> Ist das korrekt?
Nee ...
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
leider fehlt mir da irgendwie die herangehensweise.
Soll ich jetzt einen Vektor x findern mit dem Ax = 0 ist?
LG
xe_sphinx
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> leider fehlt mir da irgendwie die herangehensweise.
>
> Soll ich jetzt einen Vektor x findern mit dem Ax = 0 ist?
Nicht einen, alle!
Da deine Matrix A schon in Zeilenstufenform ist, ist doch fast nix zu tun.
Du hast insgesamt 2 Gleichungen in den 5 Unbekannten [mm] $x_1,...,x_5$
[/mm]
Also hast du 3 frei wählbare ...
>
> LG
> xe_sphinx
LG
schachuzipus
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Hallo :-D
Also die Gleichungen wären wie folgt:
(i) 2x1 + 3x2 + x4 = 0
(ii) 2x4 - 2x5 = 0
(iii) 0 = 0
(ii) x4 = x5 => 0 = 0
Damit entsteht dieser Vektor:
[mm] \vektor{ 2x1 + 3x2 + x4 \\ 2x4 - 2x5 \\ 0}
[/mm]
Dieser hat 3 Elemente --> 3 Dimensionen.
Kann ich das so schreiben?
Oder hab ich total am Thema vorbeigeschossen?
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Hallo nochmal,
> Hallo :-D
>
> Also die Gleichungen wären wie folgt:
>
> (i) 2x1 + 3x2 + x4 = 0
> (ii) 2x4 - 2x5 = 0
> (iii) 0 = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") genau!
>
> (ii) x4 = x5 => 0 = 0
>
> Damit entsteht dieser Vektor:
> [mm]\vektor{ 2x1 + 3x2 + x4 \\ 2x4 - 2x5 \\ 0}[/mm]
Hmm, das beschreibt dir doch nur "zusammengefasst" dein LGS, das du lösen musst
Du kannst [mm] $x_5:=r$ [/mm] setzen mit [mm] $r\in\IR$ [/mm] beliebig, dann ist mit der Gleichung 2 also [mm] $x_4=x_5=r$
[/mm]
Das setze in Gleichung 1 ein:
[mm] $2x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] x_4=0\Rightarrow 2x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] + r=0$
Hier kannst du nun wieder zB. [mm] $x_2:=s$ [/mm] mit [mm] $s\in\IR$ [/mm] frei wählen.
Beachte, dass [mm] $x_3$ [/mm] in keiner der Gleichungen auftaucht, somit kannst du auch [mm] $x_3:=t$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$ [/mm] beliebig setzen
Wie sieht also mit diesen Belegungen ein allg. Vektor aus dem Kern aus?
[mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{...\\s\\t\\r\\r}$
[/mm]
Fülle noch die Pünktchen bei [mm] $x_1$ [/mm] aus ...
Dann schreibe diesen allg. Vektor als Summe
[mm] $...=r\cdot{}\vektor{...\\...\\...\\...\\...}+s\cdot{}\vektor{...\\...\\...\\...\\...}+t\cdot{}\vektor{...\\...\\...\\...\\...}$
[/mm]
Dann hast du auch deine Basis des Kernes ...
>
> Dieser hat 3 Elemente --> 3 Dimensionen.
Wie ich oben schon schrieb ist der Kern stets ein UVR des Urbildraumes, hier also des [mm] $\IR^5$
[/mm]
Ein Vektor im Kern muss also 5 Komponenten haben, die Dimension des Kernes (=Anzahl der Basisvektoren, die den Kern aufspannen) ergibt sich als Lösungsgesamtheit des LGS, das wir hier lösen wollen
> Kann ich das so schreiben?
> Oder hab ich total am Thema vorbeigeschossen?
Ein wenig, aber es wird ... 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Mi 19.11.2008 | | Autor: | leo88 |
Also würde der allg. Vektor aus dem Kern [mm] \vektor{(3s + r)/2 \\ s \\ t \\ r \\ r} [/mm] so aussehen?
und die allgemeine Vektor Summe wäre r * [mm] \vektor{(3s/r + 1)/2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + s * [mm] \vektor{3 + r/s)/2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + t* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ? Stimmt das?
Also wäre die Dimension 3, da wir 3 Basen haben?
Kann man die Basis des Kerns nicht auch mit dem NZSF ausrechnen?
Grüße Leo
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> Also würde der allg. Vektor aus dem Kern [mm]\vektor{(3s + r)/2 \\ s \\ t \\ r \\ r}[/mm]
> so aussehen?
Hallo,
.
Ich hab' in der ersten Komponente ein Minus, aber ansonsten ist das so wie bei mir.
Es ist
[mm]\vektor{(3s + r)/2 \\ s \\ t \\ r \\ r}[/mm] =[mm]\vektor{(3/2s + 1/2r) \\ s \\ t \\ r \\ r}[/mm] =r*[mm]\vektor{ 1/2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}[/mm] +s*[mm]\vektor{3/2s \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] +t*[mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> und die allgemeine Vektor Summe wäre r * [mm]\vektor{(3s/r + 1)/2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> + s * [mm]\vektor{3 + r/s)/2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] + t*
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] ? Stimmt das?
Das, was Du reingewurschtelt hast, scheint nur ein Copy-Fehler zu sein. Es sieht aus, als hättst Du es verstanden.
> Also wäre die Dimension 3, da wir 3 Basen haben?
Wir haben nur eine Basis. Aber diese besteht aus drei Vektoren, und deshalb ist die Dimension =3
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> Kann man die Basis des Kerns nicht auch mit dem NZSF
> ausrechnen?
Mit der normalisierten Zeilenstufenform? Ja. Versuch's mal.
Beachte, daß es nicht die basis gibt, sondern eine Basis. Wenn Du etwas anderes bekommst als zuvor, muß das nichts Schlimmes bedeuten.
Gruß v. Angela
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