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| Aufgabe | Es seien V und W K-Vektorräume und für [mm] (v_{1},w_{1}),(v_{2},w_{2}) \in [/mm] V [mm] \times W,\lambda \in [/mm] K sei
[mm] (v_{1},w_{1})+(v_{2},w_{2}):=(v_{1}+v_{2},w_{1}+w_{2}),
[/mm]
[mm] \lambda(v_{1},w_{1}):=(\lambda v_{1},\lambda w_{1})
[/mm]
Es seien V und W endlich dimensional. Man zeige: dim(V [mm] \times [/mm] W)=dim(V)+dim(W) |
Ich wäre über jede Hilfestellung sehr dankbar,denn ich weiß gar nicht wie ich das zeigen soll!
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> Es seien V und W K-Vektorräume und für
> [mm](v_{1},w_{1}),(v_{2},w_{2}) \in[/mm] V [mm]\times W,\lambda \in[/mm] K
> sei
> [mm](v_{1},w_{1})+(v_{2},w_{2}):=(v_{1}+v_{2},w_{1}+w_{2}),[/mm]
> [mm]\lambda(v_{1},w_{1}):=(\lambda v_{1},\lambda w_{1})[/mm]
> Es
> seien V und W endlich dimensional. Man zeige: dim(V [mm]\times[/mm]
> W)=dim(V)+dim(W)
> Ich wäre über jede Hilfestellung sehr dankbar,denn ich
> weiß gar nicht wie ich das zeigen soll!
Hallo,
die Vektorräume V und W haben ja eine Basis.
Es ist vorausgesetzt, daß beide Räume endlichdimensional sind, etwa dimV=n und dimW=m.
Betrachtet wird hier nun der Raum, der aus Paaren besteht mit Vektoren aus V in der ersten und solchen aus W in der zweiten Komponente.
Es wurde eine Addition und eine Multiplikation mit Körperelementen erklärt, und das ganze ergibt einen Vektorraum. Das muß in dieser Aufgabe aber nicht mehr gezeigt werden.
Nimm jetzt mal an, Du hättest eine Basis [mm] B:=(b_1,...,b_n) [/mm] von U und eine Basis [mm] C:=(c_1,...,c_m) [/mm] von V.
Nun mußt Du mal überlegen, ob und wie Du mit denen "irgendwie" den Raum der besagten Paare U x W erzeugen kannst.
Wenn Du Dir ziemlich sicher bist, ein Erzeugendensystem zu haben, prüfe es auf lineare Unabhängigkeit.
Gruß v. Angela
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