Dimension < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 So 18.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich wollte mal fragen, ob die Dimension eines Vektorraumes immer gleich der Anzahl der Komponenten der Vektoren ist.
Bzw. ob die Dimension immer die Zahl ist, die bei einem Körper [mm] K^n [/mm] im Exponenten steht (was ja im Endeffekt das gleiche ist)?
Wenn ich z.B. einen Vektorraum V mit drei Basisvektoren habe, haben dann die Vektoren von V immer drei Elemente?
Mehr Komponenten können sie ja nicht haben, dann würden die drei Basisvektoren nicht mehr alle Vektoren erzeugen und wären keine Basis mehr.
Und weniger Komponenten können sie ja eigentlich auch nicht haben, weil dann wären mindestens zwei Vektoren linear abhängig.
Also kann man das allgemein sagen, Dimension = Anzahl Vektorkomponenenten?
LG, Nadine
|
|
| |
|
Hallo
> Hallo zusammen!
>
> Ich wollte mal fragen, ob die Dimension eines Vektorraumes
> immer gleich der Anzahl der Komponenten der Vektoren ist.
>
> Bzw. ob die Dimension immer die Zahl ist, die bei einem
> Körper [mm]K^n[/mm] im Exponenten steht (was ja im Endeffekt das
> gleiche ist)?
>
> Wenn ich z.B. einen Vektorraum V mit drei Basisvektoren
> habe, haben dann die Vektoren von V immer drei Elemente?
>
> Mehr Komponenten können sie ja nicht haben, dann würden
> die drei Basisvektoren nicht mehr alle Vektoren erzeugen
> und wären keine Basis mehr.
>
> Und weniger Komponenten können sie ja eigentlich auch
> nicht haben, weil dann wären mindestens zwei Vektoren
> linear abhängig.
>
> Also kann man das allgemein sagen, Dimension = Anzahl
> Vektorkomponenenten?
>
Na, was ist denn die einfachste Basis eines Vektorraums? z.B die einfachste Basis von [mm] \IR^{n}? [/mm] ;)
Durch Linearkombinationen der Basisvektoren sollte man ja in der Lage sein, jeden Punkt des Vektorraums zu erreichen. Wenn wir n-1-Dimensionale Basisvektoren hätten, dann hätten wir ein Problem, nicht?
> LG, Nadine
Grüsse, Amaro :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 So 18.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro!
> Na, was ist denn die einfachste Basis eines Vektorraums?
> z.B die einfachste Basis von [mm]\IR^{n}?[/mm] ;)
Die Einheitsvektoren [mm] e_i [/mm] ($i=1,...,n$)?
> Durch Linearkombinationen der Basisvektoren sollte man ja
> in der Lage sein, jeden Punkt des Vektorraums zu erreichen.
> Wenn wir n-1-Dimensionale Basisvektoren hätten, dann
> hätten wir ein Problem, nicht?
Was genau meinst du hier mit "n-1-Dimensionale Basisvektoren"?
Beziehst du hier jetzt den Begriff "Dimension" auch auf die Anzahl der Komponenten?
Ich blick grad irgendwie nicht durch beim Dimensionsbegriff... ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
> > Durch Linearkombinationen der Basisvektoren sollte man ja
> > in der Lage sein, jeden Punkt des Vektorraums zu erreichen.
> > Wenn wir n-1-Dimensionale Basisvektoren hätten, dann
> > hätten wir ein Problem, nicht?
>
> Was genau meinst du hier mit "n-1-Dimensionale
> Basisvektoren"?
>
> Beziehst du hier jetzt den Begriff "Dimension" auch auf die
> Anzahl der Komponenten?
Hallo,
ich interpretiere Arcesius so:
er möchte Dir sagen, daß z.B. die Ebenen durch den Ursprung zweidimensionale Untervektorräume des [mm] \IR^3 [/mm] (also Vektorräume) sind, man sie aber natürlich nicht mit Spaltenvektoren, die nur zwei Einträge haben, also mit solchen des [mm] \IR^2, [/mm] erzeugen kann.
> Ich blick grad irgendwie nicht durch beim
> Dimensionsbegriff...
Dimension= Anzahl der Basisvektoren.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Ich wollte mal fragen, ob die Dimension eines Vektorraumes
> immer gleich der Anzahl der Komponenten der Vektoren ist.
Hallo,
nein.
Gehen wir in den Anschauungsraum, in den [mm] \IR^3, [/mm] welcher bekanntermaßen dreidimensional ist.
Die Elemente eines jeden Untervektorraumes des [mm] \IR^3 [/mm] werden aus Vektoren mit drei Komponenten bestehen - aber mitnichten ist jeder seiner Unterräume dreidimensional.
Was ist "Dimension"? Die Anzahl der Elemente einer Basis.
Also muß man die Basis des Unterraumes anschauen, dann kennt man die Dimension des Unterraumes.
Alle Ebenen durch den Ursprung sind im [mm] \IR^3 [/mm] Unterräume. Sie werden aufgespannt von zwei linear unabhängigen Vektoren (mit drei Einträgen) ==> dim der Ebenen =2.
> Bzw. ob die Dimension immer die Zahl ist, die bei einem
> Körper [mm]K^n[/mm] im Exponenten steht (was ja im Endeffekt das
> gleiche ist)?
Es ist der [mm] K^n [/mm] als VR über K immer n-dimensional.
Keiner seiner Unterräume kann eine Dimension haben, die größer als n ist.
> Wenn ich z.B. einen Vektorraum V mit drei Basisvektoren
> habe, haben dann die Vektoren von V immer drei Elemente?
Nein.
Betrachte V= [mm] <\vektor{1\\1\\1\\1\\1}\\ \vektor{0\\1\\1\\1\\1}\\ \vektor{1\\1\\1\\0\\1}> [/mm] (Erzeugnis dieser Vektoren).
Dessen Dimension ist =3, denn er wird von drei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt.
> Mehr Komponenten können sie ja nicht haben, dann würden
> die drei Basisvektoren nicht mehr alle Vektoren erzeugen
> und wären keine Basis mehr.
Ja.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 So 18.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Danke für eure Hilfe, ich denke, jetzt ist es mir klar 
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Do 22.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
Ich muss hier doch nochmal ne Frage loswerden.
Also wenn wir jetzt mal die Unterräume weglassen.
Wenn ich einfach nur einen [mm] K^n [/mm] und einen [mm] K^m [/mm] gegeben habe.
Dann habe ich doch einmal n-Tupel, also n Elementen, und einmal m-Tupel, also m Elemente.
Und der [mm] K^n [/mm] hat n Basisvektoren, also [mm] dim(K^n)=n [/mm] und der [mm] K^m [/mm] hat doch m Basisvektoren, also [mm] dim(K^m)=m.
[/mm]
Also geben doch hier n und m im Exponenten von K sowohl die Dimension des Vektorraums als auch die Anzahl der Einträge an, oder nicht?
Oder kann es sein, dass der [mm] K^n, [/mm] wenn er ein Unterraum (jetzt bin ich doch wieder da  ) vom [mm] K^m [/mm] ist, dass die Tupel dann m Einträge haben...
Aber ich dachte immer, laut Defintion ist ein Element aus dem [mm] K^n [/mm] ein Tupel mit n Einträgen, aber das wär ja in dem Fall dann nicht mehr so
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
Hallo Nadine,
> Hallo Angela!
>
> Ich muss hier doch nochmal ne Frage loswerden.
>
> Also wenn wir jetzt mal die Unterräume weglassen.
>
> Wenn ich einfach nur einen [mm]K^n[/mm] und einen [mm]K^m[/mm] gegeben habe.
>
> Dann habe ich doch einmal n-Tupel, also n Elementen, und
> einmal m-Tupel, also m Elemente.
>
> Und der [mm]K^n[/mm] hat n Basisvektoren, also [mm]dim(K^n)=n[/mm] und der
> [mm]K^m[/mm] hat doch m Basisvektoren, also [mm]dim(K^m)=m.[/mm]
>
> Also geben doch hier n und m im Exponenten von K sowohl die
> Dimension des Vektorraums als auch die Anzahl der Einträge
> an, oder nicht?
Ja, hier passt das mal, aber merke dir lieber die Definition "Dimension=Anzahl der Basisvektoren", die Anzahl der Einträge eines Vektors als Dimension aufzufassen, ist i.A. falsch!
>
>
>
> Oder kann es sein, dass der [mm]K^n,[/mm] wenn er ein Unterraum
> (jetzt bin ich doch wieder da ) vom [mm]K^m[/mm] ist, dass die
> Tupel dann m Einträge haben...
Wie soll denn der [mm] $\IK^n$ [/mm] ein UR des [mm] $\IK^m$ [/mm] sein?
Jeder Unterraum $U$ eines Vektorraumes $V$ ist insbesondere eine Teilmenge von $V$, hier wäre also [mm] $\IK^n\subset\IK^m$.
[/mm]
Das kann für [mm] $m\neq [/mm] n$ nicht passen.
Wohl gibt es Unterräume des [mm] $\IK^m$ [/mm] mit Dimension <m, etwa die Menge all jener Vektoren, deren letzte Komponente 0 ist.
Also [mm] $U=\{\vec{x}\in\IK^m\mid x_m=0\}$ [/mm] mit den induzierten Verknüpfungen.
Das ist ein UVR des [mm] $\IK^m$ [/mm] der Dimension m-1.
Klar, wieso? Wie sieht eine Basis aus?
>
> Aber ich dachte immer, laut Defintion ist ein Element aus
> dem [mm]K^n[/mm] ein Tupel mit n Einträgen, aber das wär ja in dem
> Fall dann nicht mehr so
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
