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| Aufgabe | Seien V und W K-Vektorräume, sei [mm] \phi:V \to [/mm] W und sei die duale Abbildung definiert als
[mm] \phi^{+}:Hom_{K}(W,K) \to Hom_{K}(V,K)
[/mm]
[mm] (\alpha: W\to K)\mapsto (\alpha\circ \phi:V\to [/mm] K)
Zeigen Sie, dass gilt:
[mm] dim(Bild(\phi))=dim(Bild(\phi^{+}))
[/mm]
Eine Idee wäre zu zeigen: [mm] (Bild(\phi))^{+}=Bild(\phi^{+})
[/mm]
Warum geht das nicht? |
Ich bin irgendwie total am Verzweifeln bei der Aufgabe.
Die Dimension des Dualraumes von V ist ja gleich der Dimension von V.
Damit ist also die Dimension des Bildes von [mm] \phi^{+} [/mm] kleiner gleich der Dimension von V. Und die Dimension des Bildes von [mm] \phi [/mm] ist kleiner gleich der Dimension von W.
Außerdem gilt nach dem Dimensionssatz:
[mm] dim(W)=dim(ker(\phi^{+}))+dim(Bild(\phi^{+}))
[/mm]
[mm] dim(V)=dim(ker(\phi))+dim(Bild(\phi))
[/mm]
Aber wie man nun auf die Gleichheit der Dimension der Bilder schließen soll?
Beim zweiten Aufgabenteil habe ich genauso wenig Ahnung. Hat das irgendwas mit der Kontravarianz zu tun? Geht es nicht, weil [mm] (Bild(\phi))^{+}\not=Bild(\phi^{+})? [/mm] Oder geht es einfach nicht, weil + nicht anwendbar ist auf das Bild von [mm] \phi, [/mm] da es eine Untermenge von W ist und damit nicht unbedingt Abbildungen enthält?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Do 24.12.2009 | | Autor: | Salamence |
Die Aufgabe scheint ja wirklich nicht so einfach zu sein. Ich weiß wohl jetzt, wie es theoretisch gehen sollte (Ich hoffe, dass es so richtig ist...; allerdings müsste mir jemand noch einen Schritt erklären)
Nach dem Dimensionsatz gilt:
[mm] dim(ker(\phi^{+})=dim(W)-dim(Bild(\phi^{+})
[/mm]
Außerdem soll man irgendwie die Beziehung [mm] dim(ker(\phi^{+})=dim(W)-dim(Bild(\phi)) [/mm] herleiten können. Das soll damit zusammenhängen, dass der Kern von [mm] \phi^{+} [/mm] gerade die [mm] \alpha [/mm] enthält, für die gilt: [mm] \alpha\circ\phi=0 [/mm] Also [mm] \alpha(Bild(\phi))=0
[/mm]
Damit soll man irgendwie drauf kommen, mir ist allerdings nicht wirklich klar, wie. Wahrscheinlich bin ich nur zu blöd. Kann mir jemand erklären, wieso das daraus folgt.
Zum zweiten Teil: Das + angewandt auf einen Vektorraum transferiert ihn in den Dualraum. Also ist [mm] (Bild(\phi))^{+}=Hom(Bild(\phi),K) [/mm] und [mm] Bild(\phi^{+})\subset [/mm] Hom(V,K)
Also sind das eine Abbidungen von einer Untermenge von W nach K, das andere Abbildungen von V nach K. Wenn V bspw. eine echte Obermenge von W ist, ist klar, dass das nicht gleich ist. Wäre damit gezeigt, dass das Bild von [mm] \phi^{+} [/mm] und der Dualraum vom Bild von [mm] \phi [/mm] nicht unbedingt gleich sein müssen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:55 Fr 25.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien V und W K-Vektorräume, sei [mm]\phi:V \to[/mm] W und sei die
> duale Abbildung definiert als
> [mm]\phi^{+}:Hom_{K}(W,K) \to Hom_{K}(V,K)[/mm]
> [mm](\alpha: W\to K)\mapsto (\alpha\circ \phi:V\to[/mm]
> K)
> Zeigen Sie, dass gilt:
> [mm]dim(Bild(\phi))=dim(Bild(\phi^{+}))[/mm]
> Eine Idee wäre zu zeigen:
> [mm](Bild(\phi))^{+}=Bild(\phi^{+})[/mm]
> Warum geht das nicht?
>
> Ich bin irgendwie total am Verzweifeln bei der Aufgabe.
> Die Dimension des Dualraumes von V ist ja gleich der
> Dimension von V.
Wenn $V$ endlichdimensional ist. Das setzt ihr also offenbar voraus.
> Damit ist also die Dimension des Bildes von [mm]\phi^{+}[/mm]
> kleiner gleich der Dimension von V. Und die Dimension des
> Bildes von [mm]\phi[/mm] ist kleiner gleich der Dimension von W.
> Außerdem gilt nach dem Dimensionssatz:
> [mm]dim(W)=dim(ker(\phi^{+}))+dim(Bild(\phi^{+}))[/mm]
> [mm]dim(V)=dim(ker(\phi))+dim(Bild(\phi))[/mm]
> Aber wie man nun auf die Gleichheit der Dimension der
> Bilder schließen soll?
Hieraus? Gar nicht.
Zeige doch, dass das Bild von [mm] $\phi^+$ [/mm] isomorph zu [mm] $Hom_K(Bild(phi), [/mm] K)$ ist.
> Beim zweiten Aufgabenteil habe ich genauso wenig Ahnung.
> Hat das irgendwas mit der Kontravarianz zu tun? Geht es
> nicht, weil [mm](Bild(\phi))^{+}\not=Bild(\phi^{+})?[/mm] Oder geht
> es einfach nicht, weil + nicht anwendbar ist auf das Bild
> von [mm]\phi,[/mm] da es eine Untermenge von W ist und damit nicht
> unbedingt Abbildungen enthält?
1. Wie ist $U^+$ definiert fuer einen Untervektorraum $U$? Ist es ueberhaupt definiert? (Das meinst du wohl mit "anwendbar".)
2. In welchen Vektorraeumen wuerden die einzelnden Teile liegen? Wenn sie in verschiedenen, nicht-kompatiblen Vektorraeumen liegen, koennen sie gar nicht gleich sein.
LG Felix
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