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| Aufgabe | [mm] v_1=\vektor{1 \\ 1\\1}, v_2=\vektor{1\\3\\1} [/mm] und [mm] v_3=\vektor{1\\2\\\alpha^2}
[/mm]
Ich soll zeigen, dass [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] R: [mm] dim(span(v_1, v_2, v_3))\ge [/mm] 2 stimmt. |
Ich habe bereits festgestellt, dass für [mm] \alpha\not=\pm [/mm] 1 die drei Vektoren linearunabh. sind und eine Basis des [mm] R^3 [/mm] bilden.
Wie kann ich nun diese Ausage überprüfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]v_1=\vektor{1 \\ 1\\1}, v_2=\vektor{1\\3\\1}[/mm] und
> [mm]v_3=\vektor{1\\2\\\alpha^2}[/mm]
> Ich soll zeigen, dass [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] R: [mm]dim(span(v_1, v_2, v_3))\ge[/mm]
> 2 stimmt.
> Ich habe bereits festgestellt, dass für [mm]\alpha\not=\pm[/mm] 1
> die drei Vektoren linearunabh. sind und eine Basis des [mm]R^3[/mm]
> bilden.
> Wie kann ich nun diese Ausage überprüfen.
Hallo,
wie hast Du diese Aussage denn festgestellt?
Gruß v. Angela
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Gleichungssystem aufgestellt und geschaut, wann nur die triviale Lösung r=s=t=0 existiert.
[mm] v_1=\vektor{1\\2\\1} [/mm] läßt sich als Linearkombination durch die anderen beiden darstellen. Für alle anderen [mm] \alpha^2 [/mm] gehts nicht.
[mm] \Rightarrow [/mm] Basis.
Oder nicht?
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> Gleichungssystem aufgestellt und geschaut, wann nur die
> triviale Lösung r=s=t=0 existiert.
Das ist doch schon der Beweis!
Du bekommst so heraus: die Vektoren sind linear unabhängig für [mm] a^2\not=1.
[/mm]
Als nächstes untersuchst du noch a=1 und a=-1 und bestimmst hier den Span der drei Vektoren.
Gruß v. Angela
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Gut ich stelle also fest das [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] linear unabhängig sind.
Ist es richtig das dann [mm] dim(span(v_1,v_2))=2 [/mm] und [mm] dim(span(v_1,v_2,v_3))=3.
[/mm]
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Hallo!
Es stimmt!
Falls, [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] lin. unabh. sind, dann ist die Dimension des span [mm] (v_{1}, v_{2}, v_{3}) [/mm] sicherlich einmal 2!
Falls [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] lin. unabh. sind (und das ist ja der Fall, wenn [mm] a\not=1 [/mm] bzw. [mm] a\not=-1 [/mm] ist), dann beträgt die Dimension des span 3!
(Das [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} \IR^{3} [/mm] erzeugen ist ja offensichtlich.)
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