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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Fr 25.12.2009 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | In [mm] \IR^{4} [/mm] betrachten wir den linearen Teilraum
U:={ [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\x_{3} \\x_{4} }|x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=0 [/mm] }.
Bestimme die Dimension von U. |
Hallo,
welche Gedanken ich bis jetzt dazu gemacht habe , waren:
man soll eine Basis von U finden (insbesondere das Erzeugendensystem von U). Wenn man ein Erzeugendensystem gehabt hätte, könnte man
mit Hilfe von Gauss die Basis finden.
Wie geht man hier bei der Bestimmung der Basis vor?
schöne Feiertage und viele Grüße
Igor
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> In [mm]\IR^{4}[/mm] betrachten wir den linearen Teilraum
> $\ [mm] U:=\left\{\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\x_{3} \\x_{4} }\ \mid\ \ \ x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}\,=\,0\,\right\}$
[/mm]
> Bestimme die Dimension von U.
> Hallo,
>
> welche Gedanken ich bis jetzt dazu gemacht habe , waren:
> man soll eine Basis von U finden (insbesondere das
> Erzeugendensystem von U). Wenn man ein Erzeugendensystem
> gehabt hätte, könnte man
> mit Hilfe von Gauss die Basis finden.
>
> Wie geht man hier bei der Bestimmung der Basis vor?
>
> schöne Feiertage und viele Grüße
> Igor
Hallo Igor,
durch diese eine lineare Beziehung zwischen den [mm] x_i [/mm] wird
die Dimension des Raumes um 1 reduziert, also hat U
die Dimension 3. Du möchtest aber eine Basis von U.
Hier kannst du so vorgehen: wähle eine beliebige Basis
für den Raum [mm] $\IR^3=\left\{\vektor{x_1\\ x_2\\x_3}\ \ |\quad x_i\in\IR\ \right\}$
[/mm]
der ersten 3 Koordinaten und hänge an jeden dieser
3 Basisvektoren das [mm] x_4 [/mm] an, das sich aus der Gleichung ergibt.
Das ist in dieser Weise natürlich nur möglich, falls
die Gleichung nach [mm] x_4 [/mm] aufgelöst werden kann. Träte
[mm] x_4 [/mm] in der Gleichung von U gar nicht auf, so müsste
man eine andere Koordinate als "letzte Koordinate"
wählen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 So 27.12.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Al-Chwarizmi,
>
> durch diese eine lineare Beziehung zwischen den [mm]x_i[/mm] wird
> die Dimension des Raumes um 1 reduziert, also hat U
> die Dimension 3.
Ich verstehe nicht, warum durch die Beziehung die Dimension des Raumes um 1 reduziert wird .
Viele Grüße und guten Rutsch !
Igor
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> Hallo Al-Chwarizmi,
> >
> > durch diese eine lineare Beziehung zwischen den [mm]x_i[/mm] wird
> > die Dimension des Raumes um 1 reduziert, also hat U
> > die Dimension 3.
>
> Ich verstehe nicht, warum durch die Beziehung die Dimension
> des Raumes um 1 reduziert wird .
Hallo Igor,
man kann die Dimension eines Raumes auch als die
Anzahl der "Freiheitsgrade" auffassen. So wie der
Raum [mm] \IR^3 [/mm] durch eine lineare "Zwangsbedingung"
wie z.B. die Gleichung z=0 auf die x-y-Ebene bzw. [mm] \IR^2
[/mm]
oder durch eine Gleichung wie [mm] x+5\,y-2\,z=0 [/mm] auf eine
schief liegende Ebene reduziert wird, wird der [mm] \IR^4
[/mm]
durch eine lineare Gleichung zwischen den [mm] x_1, x_2, x_3, x_4
[/mm]
auf einen dreidimensionalen Unterraum reduziert.
> Viele Grüße und guten Rutsch !
> Igor
Wünsche ich dir ebenfalls !
Al-Ch.
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Hallo,
also haben die Vektoren, die in U sind, die Gestalt
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\x_{3} \\x_{4} }=\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\x_{3} \\x_{1}-x_{2}+x_{3}}=x_1*\vektor{1\\0\\0\\1}+x_2\vektor{0\\1\\0\\-1} +x_3*\vektor{0\\0\\1\\1}.
[/mm]
Damit hast Du schonmal ein Erzeugendensystem von U, die drei Vektoren sind offensichtlich lin. unabhängig, also ist eine Basis gefunden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 So 03.01.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wie bestimmt man die Dimension von U [mm] \cap [/mm] V ?
Ich habe folgende Gedanken dazu gemacht:
Um die Dimension zu finden, braucht man die Basis von U [mm] \cap [/mm] V .
Zuerst aber soll man verstehen, wie U [mm] \cap [/mm] V genauer aussieht:
Für U und V haben wir schon jeweils eine Basis gefunden.
Linearkombination , bestehend aus den Basisvektoren von U , und Linearkombination , bestehend aus den Basisvektoren von V,
habe ich gleichgesetzt, um herauszufinden, wie die Koeffizienten sein sollen, damit man die Menge U [mm] \cap [/mm] V besser beschreiben kann.
Das Problem ist, dass das entstehende LGS mehr Unbekannten als Gleichungen hat (Ich weiß nicht, wie man in solchen Fällen vorgehen soll).
Wenn man diese Menge genauer bestimmen könnte, dann könnte man vielleicht auch eine Basis davon finden...
Gruss
Igor
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Hallo,
der Weg, den Du schilderst, das Gleichsetzen, ist schonmal richtig.
Ich schreibe es dann am liebsten als ...=Nullvektor.
Bestimme dann den Kern des Gleichungssystems, danach können wir je bei der Interpretation weiterhelfen.
Bei Fragen: poste die beiden Basen, Dein Gleichungssystem und zumindest die Zeilenstufenform. Dann natürlich noch den Kern.
Am konkreten Beispiel kann man sowas besser besprechen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 So 03.01.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wenn ich richtig verstehe, dann bedeutet Kern vom homogenen LGS zu bestimmen:
das LGS mit Gauss zu lösen.
Jedoch, wie ich oben geschrieben habe, weiß ich nicht, wie man LGS mit mehr Unbekannten als Gleichungen löst.
Gruss
Igor
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> Hallo,
>
> wenn ich richtig verstehe, dann bedeutet Kern vom
> homogenen LGS zu bestimmen:
> das LGS mit Gauss zu lösen.
>
Hallo,
genau.
> Jedoch, wie ich oben geschrieben habe, weiß ich nicht, wie
> man LGS mit mehr Unbekannten als Gleichungen löst.
Den Gaußalgorithmus wirst Du ja können.
Wie gesagt: beginne doch hier mal mit Deiner Rechnung und bring die Matrix auf Zeilenstufenform.
Wenn wir die vor uns liegen haben, kann ich Dir zeigen, wie man den Kern bestimmt.
(Du findest auch eine Menge Aufgaben zur Bestimmung des Kerns im Forum.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
unten bringe ich das LGS in die Zeilenstufenform:
1 0 0 -1 -2 1 0 0 -1 -2
0 1 0 2 0 0 1 0 2 0
0 0 1 -3 -3 [mm] \to [/mm] 0 0 1 -3 -3 [mm] \to
[/mm]
1 -1 1 0 -1 0 -1 1 1 1
1 0 0 -1 -2 1 0 0 -1 -2
0 1 0 2 0 0 1 0 2 0
0 0 1 -3 -3 [mm] \to [/mm] 0 0 1 -3 -3
0 0 1 3 1 0 0 0 6 4
Grüße
Igor
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> Hallo,
>
> unten bringe ich das LGS in die Zeilenstufenform:
>
> 1 0 0 -1 -2 1 0 0 -1 -2
>
> 0 1 0 2 0 0 1 0 2 0
> 0 0 1 -3 -3 [mm]\to[/mm] 0 0 1 -3 -3
> [mm]\to[/mm]
> 1 -1 1 0 -1 0 -1 1 1 1
>
> 1 0 0 -1 -2 1 0 0 -1 -2
> 0 1 0 2 0 0 1 0 2 0
> 0 0 1 -3 -3 [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 0 1 -3 -3
>
> 0 0 1 3 1 0 0 0 6 4
Hallo,
dies ist Dein 448. Artikel im Matheraum, und ich würde erwarten, daß Du Dich inzwischen mit der Formeleingabe (Eingabehilfen zur Formeleingabe unterhalb des Eingabefensters) vertraut gemacht hast.
Wenn Du gescheite Matrizen schreibst, kann man nämlich alles viel besser lesen.
Die ZSF hat die führenden Zeilenelemente in den Spalten 1,2,3,4, daher kannst Du x_5 frei wählen.
x_5:=t mit t\in \IR bliebig.
Der letzten Zeile entnimmt man 6x_4+4x_5=0
<==>
x_4=-\bruch{2}{3}x_5=-\bruch{2}{3}t,
Der 3.Zeile
x_3=3x_4+3x_5= ...*t,
der 2.Zeile
x_2=-2x_4=...*t,
der 1.Zeile
x_1=x_4+2x_5=...*t.
Schreibe das nun als Vektor:
\vektor{x_1\\\vdots\\x_5)=\vektor{...\\\vdots\\...)=t*\vektor{...\\\vdots\\...),
und dieser letzte Vektor bildet eine Basis des Kerns.
Gruß v. Angela
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