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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Mo 27.10.2008 | | Autor: | blubb_ |
| Aufgabe | Man bestimme (mit Beweis!) die Dimension der folgenden K-Vektorräume:
a) {A [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, K) | A ist schiefsymmetrisch}
b) {f [mm] \in K^{1,..,8} [/mm] | f(4)+f(5)= [mm] \underline{0} [/mm] } |
Zur a) würde ich intuitiv sagen die Dimension ist n, aber wie ich das Beweise ist mir schleierhaft. Wäre über Hilfe sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Mo 27.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
> a) [mm] $\{A \in M(n\times n, K) | A \text{ ist schiefsymmetrisch}\}$
[/mm]
wie sieht denn einen schiefsymmetrische matrix aus? mach dir das am besten mal für $n = 2, 3$ klar, dann hast du vielleicht auch eine vermutung für die dimension im allgemeinen ($n$ ist im allgemeinen falsch).
> b) [mm] $\{f \in K^{\{1,..,8\}} | f(4)+f(5)= \underline{0}\}$
[/mm]
kannst du einen basis dieses raumes angeben (welche werte darf $f(1), f(2), ..$ annehemen? ist das unabhängig von den anderen werten? wie sieht es für $f(4)$ und $f(5)$ aus?
wenn du diese fragen beantworten kannst, bist du schon sehr kurz vor der lösung.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mo 27.10.2008 | | Autor: | blubb_ |
a)
[mm] \pmat{ a & b \\ b & c} [/mm] bzw [mm] \pmat{ a & b & d\\ b & c & e \\ d & e & f }
[/mm]
Die Anzahl der Elemente der Basis, also dioe Dimension wäre 3 bei 3x3 wäre sie 6, wenn ich mich nich verzählt hab.
b) f(1),f(2),.. etc sind frei wählbar, das einzige was gelten muss ist, dass f(4) das additive inverse zu f(5) ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:33 Di 28.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> a)
> [mm]\pmat{ a & b \\ b & c}[/mm] bzw [mm]\pmat{ a & b & d\\ b & c & e \\ d & e & f }[/mm]
>
> Die Anzahl der Elemente der Basis, also dioe Dimension wäre
> 3 bei 3x3 wäre sie 6, wenn ich mich nich verzählt hab.
>
Die Matrizen die Du hingeschrieben hast sind symmetrisch, aber nicht schiefsymmetrisch !
FRED
> b) f(1),f(2),.. etc sind frei wählbar, das einzige was
> gelten muss ist, dass f(4) das additive inverse zu f(5) ist
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Di 28.10.2008 | | Autor: | blubb_ |
Aber sie sind doch symmetrisch zur Diagonalen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Di 28.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Aber sie sind doch symmetrisch zur Diagonalen?
Ja, aber nicht schiefsymmetrisch ! Was heißt denn das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Di 28.10.2008 | | Autor: | blubb_ |
[mm] \pmat{ a & b & d\\ -b & c & -e \\ -d & e & f } [/mm] muss es heißen und bei der anderen dann auch -b
aber die Dimensio bleibt doch gleich. Also 3 bzw 6
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Di 28.10.2008 | | Autor: | fred97 |
A heißt schiefsymmetrisch, falls A = [mm] -A^T. [/mm] Nun überlege Dir mal, was auf der Diagonalen einer solchen Matrix stehen kann.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Di 28.10.2008 | | Autor: | blubb_ |
Da stehen Nullen *an die Stirn hau
Also Fallen Vektoren weg in der Basis:
dim 2x2=1
dim 3x3=3
dim 4x4=6
dim 5x5=9 etc.
Mir ist grad nur nich klar, wie ich das für n schrieben geschweige denn beweisne kann
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Soviel ich mal in der Vorlesung aufgeschnappt habe, könnte man dies anhand n(n-1)/2 stützen...
Jedoch wie man das herleitet zur Aufgabenstellung bin ich überfragt.
Hilft dir das Stichwort Induktion?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Di 28.10.2008 | | Autor: | GrandixX |
in wie weit kann man dann diese gauß'sche summenformel beweisen bei einer schiefsymmetrischen...
da ich es auf meine behauptete formel angewand hab diese induktion und es nicht geklappt hat...
hätte da jemand einen denkansatz oder sonstige ideen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Di 28.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
mit gauß'scher summenformel meine ich ![[]](/images/popup.gif) das. wieviele frei wählbare einträge hat die matrix denn? zähle dies doch "in nebendiagonalen" und fange oben rechts an. was erhälst du?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 28.10.2008 | | Autor: | GrandixX |
also jetzt hab ich auch den faden verloren  sry.
nebendiagonalen? meinst du die diagonalen mit den gleichen variablen parallel zu der mittleren von oben links nach unten rechts?
bezüglich der n(n+1)/2, da kommt mir jedoch aber nicht mehr die dimension einer schiefsymmetrischen matrix (n*n) raus... ich habe irgendwie keinen anhaltspunkt ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Di 28.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
> nebendiagonalen? meinst du die diagonalen mit den gleichen
> variablen parallel zu der mittleren von oben links nach
> unten rechts?
unter der ersten enbendiagonalen versteht man das, was hier mit $a$'s gekennzeichent ist, unter der zweiten, das was hier mit $b$'s gekennzeichnet ist etc.: [m] \left( \begin{array}{ccccc} * & a & b \\ & * & a & b \\ & & * & a & b \\ & & & * & a \\ & & & & * \end{array} \right) [/m].
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mi 29.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
bei ner 2x2 wäre es 1 Eintrag
bei 3x3 sind es 3 Einträge
bei ner 4x4 sind es 6 Einträge
bei ner 5x5 sind es 10 Einträge
usw.
Dies ist ja auch Gleichzeitig die Dimension, also z.B. dim 4x4=6
Nur mit der gaußschen Summenformel komme ich da leider auch nicht drauf, allerdings mit dieser Formel hier:
[mm] \bruch{n(n-1)}{2}
[/mm]
Soweit alles verstanden ... nur wie mache ich jetzt weiter?? Ich muss es ja noch beweisen, dass die Dimension einer schiefsymmetischen nxn-Matrix [mm] \bruch{n(n-1)}{2} [/mm] ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Mi 29.10.2008 | | Autor: | blubb_ |
[mm] \bruch{n(n+1)}{2}-n [/mm]
Mit dem normalem Gaußbruch bekommst du die Summe aller Elemente, für die Dimension benötigst du aber nur die l.u. Elemente. dh. es fliegen alle Elemente der Gestallt [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] raus. Das sind bei [mm] 2\times2 [/mm] 2 Elemente, bei [mm] 3\times3 [/mm] 3 etc und bei [mm] n\timesn [/mm] eben n-Elemente
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Di 28.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
überlege dir, dass die matrix festliegt, wenn die einträge oberhalb der diagonalen gewählt sind. wieviele sind dies? kennst du die guaß'sche summenformel?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:08 Mi 29.10.2008 | | Autor: | blubb_ |
Ja, den kenne ich [mm] \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
Die Nebendiagonalen sind die Summe [mm] \summe_{i=1}^{n-1}i
[/mm]
was sich ja eigtl recht leicht nachvollziehen lässt, wenn mans mal sieht ^^
Wie ich das mit Induktion beweise, weiß ich auch, haben wir in Ana gemacht. Also die a) müsst ich nun hinbekommen, vielen Dank :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mi 29.10.2008 | | Autor: | TheTim |
Wie kommt man auf diese Zahlen für die Dimension? Die Dimension ist doch quasi gleich dem Rang und kann bei einer n [mm] \times [/mm] n - Matrix doch höchstens den Wert n annehmen, oder? Z.B bei einer [mm] 3\times3-Matrix [/mm] höstens 3.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Mi 29.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
es geht hier nicht um die Dimension einer Matrix bzw der Dimension einer Abbildung, sondern um die Dimension eines Vektorraums, dessen Elemente Matrices sind.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mi 29.10.2008 | | Autor: | TheTim |
Danke, ach so ist das gemeint....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Mi 29.10.2008 | | Autor: | TheTim |
Danke, ach so ist das gemeint...
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